Тең темпераментті музыкалық жүйелер

Кіріспе

Тең темперамент – кез келген көршілес екі нотаның жиіліктерінің қатынасы бірдей болуы үшін октаваны (немесе басқа интервалды) қадамдарға бөлу арқылы жай интервалдарды шамалайтын музыкалық темперамент немесе күйлеу жүйесі. Бұл жүйе биіктік жиілігінің логарифмдік өзгерістеріне байланысты, өлшемдері бірдей болып сезілетін биіктік қадамдарын қамтамасыз етеді. Классикалық музыкада және жалпы Батыс музыкасында 18-шы ғасырдан бері ең көп қолданылатын күйлеу жүйесі – 12 тең темперамент (сондай-ақ 12 тондық тең темперамент деп те аталады, немесе, бейресми түрде 12 тең деп қысқартылады), ол октаваны 12 тең бөлікке бөледі. Бұл бөліктердің барлығы логарифмдік шкалада тең, ал қатынасы 2-нің 12-ші түбіріне тең (≈ 1.05946). Бұл ең кішкентай интервал, октаваның ені, жарты тон немесе жарты қадам деп аталады. Батыс елдерінде тең темперамент термині, ешқандай қосымша түсіндірмесіз, әдетте қазіргі заманда 440 Гц стандартты биіктігіне қатысты қолданылады, яғни A 440 деп аталады – бір нота 440 герцке дейін күйленеді, ал қалған барлық ноталар одан жоғары немесе төмен жиіліктегі жарты тонның бірнеше еселігі ретінде анықталады. Стандартты биіктік әрқашан 440 Гц болған жоқ; ол соңғы бірнеше жүз жыл ішінде айтарлықтай өзгерді және көбінесе жоғарылаған. Басқа тең темпераменттер октаваны әртүрлі бөледі. Мысалы, кейбір музыка және араб тональдық жүйесінде Октаваны бөлудің орнына, тең темперамент басқа интервалды бөліп тастайды, мысалы, Болен-Пирс шкаласының тең темпераментті нұсқасы сияқты, ол октава мен бестіктің (3:1 қатынасы) аралығын, сол жүйеде «тритава» немесе «псевдооктава» деп аталатын 13 тең бөлікке бөледі. Октаваны тең бөліп тұратын, бірақ жай интервалдардың шамалауы емес, күйлеу жүйелері үшін октаваның тең бөлінуі немесе термині қолданылуы мүмкін. Ашық тартылған ішектерінен басқа барлық ноталарды күйлеуге бейімді, механикалық шектеулері жоқ, ішек аспаптар тобы мен вокалдық топтар акустикалық себептермен жай интонацияға жақын күйлеуді қолдануы мүмкін. Басқа аспаптар, мысалы, кейбір желді, пернетақталы және таспалы аспаптар көбінесе тек тең темпераментке жуықтап күйленеді, себебі техникалық шектеулер нақты күйлеуге мүмкіндік бермейді. Өз дыбыстарын оңай және спонтанды түрде өзгерте алатын, әсіресе тромбондар сияқты желді аспаптар, ішек аспаптар тобы мен вокалдық топтарға ұқсас күйлеуді қолданады.

Musical tuning system with constant ratios between notes

An equal temperament is a musical temperament or tuning system that approximates just intervals by dividing an octave (or other interval) into steps such that the ratio of the frequencies of any adjacent pair of notes is the same. This system yields pitch steps perceived as equal in size, due to the logarithmic changes in pitch frequency. In classical music and Western music in general, the most common tuning system since the 18th century has been 12 equal temperament (also known as 12 tone equal temperament, or , informally abbreviated as 12 equal), which divides the octave into 12 parts, all of which are equal on a logarithmic scale, with a ratio equal to the 12th root of 2, ( ≈ 1.05946 ). That resulting smallest interval, the width of an octave, is called a semitone or half step. In Western countries the term equal temperament, without qualification, generally means
In modern times, is usually tuned relative to a standard pitch of 440 Hz, called A 440, meaning one note, , is tuned to 440 hertz and all other notes are defined as some multiple of semitones away from it, either higher or lower in frequency. The standard pitch has not always been 440 Hz; it has varied considerably and generally risen over the past few hundred years. Other equal temperaments divide the octave differently. For example, some music has been written in and , while the Arab tone system uses

Instead of dividing an octave, an equal temperament can also divide a different interval, like the equal tempered version of the Bohlen–Pierce scale, which divides the just interval of an octave and a fifth (ratio 3:1), called a "tritave" or a "pseudo octave" in that system, into 13 equal parts. For tuning systems that divide the octave equally, but are not approximations of just intervals, the term equal division of the octave, or can be used. Unfretted string ensembles, which can adjust the tuning of all notes except for open strings, and vocal groups, who have no mechanical tuning limitations, sometimes use a tuning much closer to just intonation for acoustic reasons. Other instruments, such as some wind, keyboard, and fretted instruments, often only approximate equal temperament, where technical limitations prevent exact tunings. Some wind instruments that can easily and spontaneously bend their tone, most notably trombones, use tuning similar to string ensembles and vocal groups.

Жалпы қасиеттері

Тең темпераментте шкаланың екі жақын сатысы арасындағы қашықтық бірдей интервал болып табылады. Интервалдың қабылданатын сәйкестігі оның қатынасына байланысты болғандықтан, бұл тең қадамдардағы шкала көбейтудің геометриялық тізбегі болып табылады. (Арифметикалық интервалдар тізбегі біркелкі дыбыстамайды және әртүрлі тональностьтарға көшіруге мүмкіндік бермейді.) Нақтырақ айтқанда, тең темпераментті шкаладағы ең кіші интервал мына қатынаспен өрнектеледі: мұндағы r қатынасы p қатынасын (әдетте октава, ол 2:1) n тең бөлікке бөледі. (Төмендегі "12 тонды тең темперамент" бөлімін қараңыз.) Шкалалар көбінесе центтермен өлшенеді, олар октаваны 1200 тең интервалға бөледі (әрқайсысы цент деп аталады). Бұл логарифмдік шкала әртүрлі құбылыс жүйелерін қатынастарды салыстырудан гөрі оңайырақ салыстыруға мүмкіндік береді және этномузыкатануда кеңінен қолданылады. Кез келген тең темперамент үшін центтермен берілген негізгі қадамды табу үшін жоғарыдағы p енін центтермен (әдетте октава, ені 1200 цент) алып, оны w деп белгілеп, n бөлікке бөлу керек: Музыкалық талдауда тең темпераментке жататын материалға көбінесе бүтін санмен белгі беріледі, яғни әрбір дыбыс биіктігін көрсету үшін бір бүтін сан қолданылады. Бұл темперамент ішіндегі дыбыс биіктігі материалдары туралы талқылауды жеңілдетеді және жалпылайды, көбейтудің логарифмін алу оны қосуға дейін азайтады. Сонымен қатар, модульдік арифметиканы қолдану арқылы, мұндағы модуль октаваның бөліністерінің саны (әдетте 12) болса, бұл бүтін сандарды дыбыс биіктігі кластарына дейін азайтуға болады, бұл бір атаудағы дыбыстар арасындағы айырмашылықты (немесе ұқсастықты) жояды, мысалы, c октавалық регистрге қарамастан 0 болып табылады. MIDI кодтау стандарты бүтін сандық ноталарды пайдаланады.

Он екі реңкті тең темперамент

12 тондық тең темперамент, октаваны 12 бірдей интервалға бөлетін, қазіргі таңда, әсіресе Батыс музыкасында ең көп қолданылатын музыкалық жүйе болып табылады.

Тарих

Тең темпераментті дәл есептеуді жетістікке жеткізген деп жиі есептелетін екі тұлға – Чжу Зайю (сондай-ақ Чу Цайю деп латынша жазылады. Қытай: 朱載堉) 1584 жылы және Саймон Стевин 1585 жылы. Ф. А. Каттнердің пікірінше, Чжуға еңбек сіңіргені үшін мақтау беруге қарсы шығады.

Кеннет Робинсон тең темпераменттің ойлап табылуын Чжуға жатқызып, дәлел ретінде мәтіндік цитаталар келтіреді. 1584 жылы Чжу былай деп жазды: "Мен жаңа жүйені құрдым. Бір футты басқаларын есептеу үшін сан ретінде белгілеймін және пропорцияларды қолданып, оларды шығарамын. Барлығында он екі операцияда пиптер үшін нақты сандарды табу қажет." Каттнер Жү де, Стевин де тең темпераментке қол жеткізбегенін және екеуі де оның авторы деп есептелмеуі керек екенін ұсынады.

Қытай

Қытай теоретиктері бұрыннан бері жақындау шамаларды келтіріп келген, бірақ Чжу 12 тонды тең темпераментті математикалық тұрғыда шешкен алғашқы адам болды, оны ол 1580 және 1584 жылдары жарық көрген екі кітабында сипаттады. Нидхам да толыққанды есеп береді. Чжу өз нәтижесіне сап пен құбырдың ұзындығын бірінен соң бірі және құбыр ұзындығын бөлу арқылы қол жеткізді, сонда 12 бөлістен кейін (октава) ұзындығы жартысына дейін азайды. Чжу өзінің жүйесіне сәйкес бамбук құбырларын қоса алғанда, бірнеше музыкалық аспаптар жасады.

Еуропа

Тең темпераментті жақтаған алғашқы еуропалықтардың бірі лирашы Винченцо Галилей, Джакомо Горзанис және Франческо Спиначино болды, олардың барлығы осы жүйеде музыка жазды. Саймон Стевин 12 санын екінің он екінші тамыры негізінде алғаш рет жасады, және оны 1884 жылы қайтыс болғаннан кейін жарияланған «Van de Spiegheling der singconst» (шамамен 1605 жыл) еңбегінде сипаттады. Құбылыстық аспаптарда ойнаушылар (лютнистер және гитарашылар) көбінесе тең темпераментті жақтады, ал басқалары пікір келіспеді. Ақырында 12 тондық тең темперамент жеңіске жетті. Бұл энармониялық модуляцияға, симметриялық тоналдылық және политоналдылықтың жаңа стильдеріне, 12 тондық техника немесе сериализммен жазылған атональды музыкаға, сондай-ақ джаздың (кем дегенде фортепиано бөлігі) дамуына және гүлденуіне мүмкіндік берді.

Математика

12 тондық тең темпераментте, октаваны 12 тең бөлікке бөлетін жарты тонның ені, яғни екі жақын ноталар арасындағы интервалдың жиілік қатынасы, екінің он екінші дәрежесінің тамыры болып табылады: Бұл интервал 100 центке бөлінеді.

Бесінші жетілік тең бөліну

Скрипкалар, альттар және виолончельдер таза квинтада (скрипкалар және альттар мен виолончельдер үшін) қосылады, бұл олардың жарты тон арақатынасы дәстүрлі 12 тонды тең темпераментке қарағанда сәл жоғары екенін көрсетеді. Өйткені таза квинтаның негізгі тонмен 3:2 арақатынасы бар, ал бұл интервал жеті қадамды құрайды, әрбір тон келесі тонға (100.28 цент) арақатынаста болады, бұл 3:2 арақатынасымен таза квинтаны қамтамасыз етеді, бірақ ≈ 517:258 немесе ≈ 2.00388:1 арақатынасымен сәл кеңейтілген октаваны қамтамасыз етеді, әдеттегі 2:1 арақатынасынан өзгеше, себебі 12 таза квинта жеті октаваға тең емес. Бірақ, ойнау кезінде скрипкашылар дыбыстарды құлақпен таңдайды, және тек ішектердің бос төрт дыбысы ғана осы 3:2 арақатынасын көрсетеді.

Этномузыкологиядағы бес, жеті және тоғыз тоналы темпераменттер

Бес және жеті тондық тең темперамент (және ), тиісінше 240 және 171 центтік қадамдармен, жиі кездеседі. және синтоникалық темпераменттің жарамды күйлендіру диапазонының шектерін 1-суретте көрсетілгендей белгілейді. Темперленген таза бестің ені 720 центке жетеді (күйлендіру континуумының жоғарғы шегінде), және кіші секунданың ені 0 центке дейін тарылатын күйлендіру континуумының соңғы нүктесін көрсетеді. Темперленген таза бестің ені 686 центке жетеді (күйлендіру континуумының төменгі шегінде), және кіші секунданың үлкен секундадай кеңейетін (әрқайсысы 171 цент) күйлендіру континуумының соңғы нүктесін көрсетеді.

5 және 9 тондық тең темперамент

Кунст (1949) бойынша, индонезиялық гамеландар белгілі бір құлаққа келтірілген, бірақ Худ (1966) және Макфи (1966) бойынша олардың құлақтары кең ауқымды, ал Тензер (2000) бойынша олар созылған октаваларды қамтиды. Қазіргі таңда гамелан музыкасындағы екі негізгі құлақ жүйесінің – слендро мен пелогтың – тек слендро ғана бес тонды тең темпераментке шамалы ұқсайды, ал пелог өте тең емес; алайда, 1972 жылы Сурджодиннират, Сударжана және Сусанто пелогты 9 ТЭТ-қа балама деп талдады (133 центтік қадамдар).

7 реңкті тең темперамент

Мортонның 1974 жылы өлшеуі бойынша, тайлық ксилофон "5 центке дейін ғана ауытқып" келді. Мортонның сөзінше, "Тайландтағы белгілі бір биіктіктегі аспаптар бір октаваға жеті тең аралас биіктік жүйесімен келісімделген. Алайда, батыс дәстүрлі музыкасындағыдай, күйдік жүйенің барлық биіктіктері бір режимде (көбінесе 'гамма' деп аталады) қолданылмайды; тайлық жүйеде жеті биіктіктің бесеуі әрбір режимдегі негізгі биіктіктер ретінде қолданылады, осылайша режим үшін тең емес интервалдардың үлгісі қалыптасады." 1969 жылы Бойлс өлшеген Оңтүстік Америка үнділерінің аспаптық емес мәдениетінен алынған гамма 175 центтік жеті тонды тең темпераментті көрсетті, бұл аспаптық гамелан музыкасындағыдай октаваны сәл кеңейтеді. Қытай музыкасы дәстүрлі түрде қолданылған.

Түрлі тең мінездер

19 EDO Көптеген аспаптар 19 EDO көйлеуін қолдана отырып жасалды. Мейтонға ұқсас, ол сәл тегіс толық бесіншіні (695 цент) қамтиды, бірақ кіші үшіншісі мен үлкен алтыншысы теңдіктен бестен бір центтен кем қашықтықта. Ең төменгі EDO, 19 EDO-дан жақсы кіші үшінші мен үлкен алтыншыны 232 EDO құрайды. Оның толық төртіншісі (505 цент) табиғи интонациядан жеті цент, ал 12 EDO-дан бес цент өткір. 23 EDO 23 EDO – 3:2, 5:4, 7:4, 11:8 гармоникаларын 20 цент ішінде жақындата алмайтын ең үлкен EDO. Бірақ ол олардың арасындағы қатынастарды (соның ішінде 6/5 кіші үшіншісін) өте жақсы теңестіреді, бұл оны ерекше гармониялық кеңістік іздейтін микротоналистерге тартымды етеді. 24 EDO 24 EDO, ширек тондық шкала, әсіресе танымал, өйткені ол стандартты батыс 12 EDO биіктігі мен нотациялық тәжірибелеріне бейімделген композиторлар үшін ыңғайлы кіру нүктесін ұсынады, сонымен қатар микротоналикаға қызығушылық танытады. 24 EDO 12 EDO-ның барлық биіктіктерін қамтитындықтан, музыканттар 12 тондық гармонияда қол жетімді тактиканы жоғалтпай, қосымша түстерді пайдалана алады. 24 саны 12-ге еселі болғандықтан, 24 EDO-ны екі дәстүрлі 12 EDO аспабын қолдану арқылы аспаптық жағынан орындау оңай, мысалы, екі пианино, бұл әр орындаушыға (немесе әр қолмен әртүрлі пианинода ойнайтын бір орындаушыға) таныс 12 тондық нотацияны оқуға мүмкіндік береді. Шарль Айвс сияқты әртүрлі композиторлар ширек тондық пианиноларға арналған музыкамен тәжірибе жасаған. 24 EDO сондай-ақ 11-ші және 13-шы гармоникаларды 12 EDO-дан жақсы жақындатады. 26 EDO 26 – 7:4 гармоникасын толығымен тоналған октаваның тең бөліністерінің ең төменгі саны. Бұл мейтондық темперамент болғанымен, ол өте тегіс, оның төрт толық бесіншісі үлкен үштікті емес, бейтарап үштікті береді. 26 EDO екі кіші үшінші және екі кіші алтыншыны қамтиды және шаштараз гармониясы үшін баламалы темперамент болуы мүмкін. 27 EDO 27 – алғашқы сегіз гармониканы қамтитын барлық аралықтарды бірегей түрде көрсететін октаваның тең бөліністерінің ең төменгі саны. Бұл септималдық коммага түзету жасайды, бірақ синтоникалық коммага түзету жасамайды. 29 EDO 29 – октаваның тең бөліністерінің ең төменгі саны, оның толық бесіншісі 12 EDO-дағыдан жақын, онда бесінші 2 цент тегіс емес, 1,5 цент өткір. Оның классикалық үлкен үшіншісі шамамен 12 EDO сияқты дәл емес, бірақ 14 цент өткір емес, 14 цент тегіс. Ол сондай-ақ 7-ші, 11-ші және 13-шы гармоникаларды шамамен бірдей мөлшерде тегістеп, 29 EDO-ға 7:5, 11:7 және 13:11 сияқты аралықтарды өте дәл сәйкестендіруге мүмкіндік береді. Барлық 29 аралықты екіге бөлгенде 58 EDO пайда болады, бұл кейбір тондар үшін кішігірім қателерге мүмкіндік береді. 31 EDO 31 EDO-ны Кристиан Хюйгенс және Адриан Фокер ұсынды және ол төртінші коммага мейтонды стандарттауды білдіреді. 31 EDO-да 12 EDO-ға (мысалы, 19 EDO) ұқсас толық бесінші жоқ, бірақ оның үлкен үшіншісі мен кіші алтыншысы 1 центтен аз қашықтықта. Сонымен қатар, 11-ге дейінгі гармоникалар үшін жақсы сәйкестіктерді қамтамасыз етеді, оның ішінде жетінші гармоника ерекше дәлдікке ие. 34 EDO 34 EDO, 5:4-ке сәл аз дәл сәйкес келгеніне қарамастан, 31 EDO-ға қарағанда 3:2, 5:4, 6:5 және олардың инверсияларына аздап төмен жиынтық қателерді береді. 34 EDO жетілік гармонияға немесе 7-ге қатысты қатынастарға дәл жақын емес және оның бесіншісі тегіс емес, өткір болғандықтан, мейтонды емес. Бұл 600 центтік тритонды қамтамасыз етеді, өйткені 34 – жұп сан. 41 EDO 41 – 12 EDO-дан жақсы бесіншілікпен октаваның тең бөліністерінің екінші ең төменгі саны. Оның классикалық үлкен үшіншісі 12 EDO және 29 EDO-дан да дәл, алты цент. Бұл мейтонды емес, сондықтан 10:9 мен 9:8-ді классикалық және пифагорлық үлкен үшіншілерден айырмашылығы бар, 31 EDO-дан айырмашылығы. 13 EDO-ға қарағанда 31 EDO-ға қарағанда дәл. 46 EDO 46 EDO үлкен үштіктерді және толық бестіктерді береді, олар аздап өткір немесе тегіс, және көптеген адамдар бұл үлкен үштіктерге тән жарқын дыбыс береді дейді. 11-ге дейінгі гармоникалар 5 цент дәлдікте, 10:9 және 9:5 тазадан бестен бір цент қашықтықта. Бұл жүйе мейтондық емес, сондықтан 10:9 мен 9:8 арасында айырмашылық бар. 53 EDO 53 EDO тек кейде ғана қолданылған, бірақ 12, 19 немесе 31 EDO-ға қарағанда дәстүрлі тек консонанстарға жақындау жақсы. Оның өте дәл толық бесіншілері оны пифагорлық кеңейтілген күйіне теңестіреді және кейде түрік музыка теориясында қолданылады. Алайда, ол жақсы үштіктерді жеңіл қол жетімді ету үшін бесінші цикл арқылы беретін мейтондық темпераменттердің техникалық талаптарына сай келмейді. 53 EDO-да, үтірлі үштіктерге пифагордың азайтылған төрттен бірін (C F) қолдану мысалы болып табылады, 41 EDO сияқты, шизматикалық темперамент. 58 EDO 58 тең темперамент – 29 EDO-ның дубликаты, ол оның құрамындағы темперамент ретінде қамтылған. 29 EDO сияқты, ол 7:4, 7:5, 11:7 және 13:11 сияқты аралықтарды өте дәл сәйкестендіре алады, сонымен қатар толық үшіншілер мен алтыншыларды жақсы жақындатады. 72 EDO 72 EDO көптеген табиғи интонация аралықтарын жақсы жақындатады, 3-ші, 5-ші, 7-ші және 11-ші гармоникаларға жақын теңдес береді. 72 EDO-ны Джо Манери және оның шәкірттері оқыған, жазған және орындаған (олардың атональдық бейімділіктері табиғи интонацияға сілтеме жасамайды). Оны 12 EDO-ның кеңейтілмесі деп санауға болады, өйткені 72 12-ге еселі. 72 EDO 13-шы гармониканы немесе 13-ке қатысты көптеген қарапайым қатынастарды дәл жақындатпайды. Ол 12-ге еселі үш 12 EDO-ның, үш 24 EDO-ның және екі 36 EDO-ның көшірмелерін қамтиды. 96 EDO 96 EDO барлық аралықтарды 6,25 центке дейін жақындатады, бұл жақсы ажыратылмайды. 12 EDO сияқты сегіз еселі болғандықтан, оны толығымен пайдалануға болады. Оны Джулиан Каррильо сияқты бірнеше композиторлар қолдаған. Октаваның басқа да тең бөліністері, кейде қолданылғандарға 15 EDO, 17 EDO және 22 EDO кіреді. 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 және 15601 – log(3)-тің бірінші конвергенттерінің бөлгіштері, сондықтан 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 және 15601 он екіліктер (және бесіншілер), сәйкес тең темпераменттердегі бүтін санға тең октавалар, кез келген азырақ тонмен тең темпераменттегі 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 және 15601 толық он екіліктер/бесіншілерден жақсы жақындатулар болып табылады. 1, 2, 3, 5, 7, 12, 29, 41, 53, 200 – толық бесіншіні жақсырақ жақындататын октаваның бөліністерінің тізбегі. Басқа да толық аралықтарды жақындататын тізбектер белгілі бір ескертуде келтірілген.

19 EDO Many instruments have been built using 19 EDO tuning. Equivalent to meantone, it has a slightly flatter perfect fifth (at 695 cents), but its minor third and major sixth are less than one fifth of a cent away from just, with the lowest EDO that produces a better minor third and major sixth than 19 EDO being 232 EDO. Its perfect fourth (at 505 cents), is seven cents sharper than just intonation's and five cents sharper than 12 EDO's. 23 EDO 23 EDO is the largest EDO that fails to approximate the 3rd, 5th, 7th, and 11th harmonics (3:2, 5:4, 7:4, 11:8) within 20 cents. But it does approximate ratios between them (including the justly tuned 6/5 minor third) very well, making it attractive to microtonalists seeking unusual harmonic territory. 24 EDO 24 EDO, the quarter tone scale, is particularly popular, as it represents a convenient access point for composers conditioned on standard Western 12 EDO pitch and notation practices who are also interested in microtonality. Because 24 EDO contains all the pitches of 12 EDO, musicians employ the additional colors without losing any tactics available in 12 tone harmony. That 24 is a multiple of 12 also makes 24 EDO easy to achieve instrumentally by employing two traditional 12 EDO instruments tuned a quarter tone apart, such as two pianos, which also allows each performer (or one performer playing a different piano with each hand) to read familiar 12 tone notation. Various composers, including Charles Ives, experimented with music for quarter tone pianos. 24 EDO also approximates the 11th and 13th harmonics very well, unlike 12 EDO. 26 EDO 26 is the lowest number of equal divisions of the octave that almost purely tunes the 7th harmonic (7:4). Although it is a meantone temperament, it is a very flat one, with four of its perfect fifths producing a neutral third rather than a major third. 26 EDO has two minor thirds and two minor sixths and could be an alternate temperament for barbershop harmony. 27 EDO 27 is the lowest number of equal divisions of the octave that uniquely represents all intervals involving the first eight harmonics. It tempers out the septimal comma but not the syntonic comma. 29 EDO 29 is the lowest number of equal divisions of the octave whose perfect fifth is closer to just than in 12 EDO, in which the fifth is 1.5 cents sharp instead of 2 cents flat. Its classic major third is roughly as inaccurate as 12 EDO, but is tuned 14 cents flat rather than 14 cents sharp. It also tunes the 7th, 11th, and 13th harmonics flat, by roughly the same amount, allowing 29 EDO to match intervals such as 7:5, 11:7, and 13:11 very accurately. Cutting all 29 intervals in half produces 58 EDO, which allows for lower errors for some just tones. 31 EDO 31 EDO was advocated by Christiaan Huygens and Adriaan Fokker and represents a standardization of quarter comma meantone. 31 EDO does not have as accurate a perfect fifth as 12 EDO (like 19 EDO), but its major thirds and minor sixths are less than 1 cent away from just. It also provides good matches for harmonics up to 11, of which the seventh harmonic is particularly accurate. 34 EDO 34 EDO gives slightly lower total combined errors of approximation to 3:2, 5:4, 6:5, and their inversions than 31 EDO does, despite having a slightly less accurate fit for 5:4. 34 EDO does not accurately approximate the seventh harmonic or ratios involving 7, and is not meantone since its fifth is sharp instead of flat. It enables the 600 cent tritone, since 34 is an even number. 41 EDO 41 is the second lowest number of equal divisions of the octave with a better perfect fifth than 12 EDO. Its classic major third is more accurate than 12 EDO and 29 EDO, at six cents flat. It is not meantone, so it distinguishes 10:9 and 9:8, along with the classic and Pythagorean major thirds, unlike 31 EDO. It is more accurate in the 13 limit than 31 EDO. 46 EDO 46 EDO provides major thirds and perfect fifths that are both slightly sharp of just, and many say that this gives major triads a characteristic bright sound. The harmonics up to 11 are within 5 cents of accuracy, with 10:9 and 9:5 a fifth of a cent away from pure. As it is not a meantone system, it distinguishes 10:9 and 9:8. 53 EDO 53 EDO has only had occasional use, but is better at approximating the traditional just consonances than 12, 19 or 31 EDO. Its extremely accurate perfect fifths make it equivalent to an extended Pythagorean tuning, and it is sometimes used in Turkish music theory. It does not, however, fit the technical requirements of meantone temperaments, which put good thirds within easy reach, via the cycle of fifths. In 53 EDO, the very consonant thirds are instead reached by using a Pythagorean diminished fourth (C F), as it is an example of schismatic temperament, like 41 EDO. 58 EDO 58 equal temperament is a duplication of 29 EDO, which it contains as an embedded temperament. Like 29 EDO it can match intervals such as 7:4, 7:5, 11:7, and 13:11 very accurately, as well as better approximating just thirds and sixths. 72 EDO 72 EDO approximates many just intonation intervals well, providing near just equivalents to the 3rd, 5th, 7th, and 11th harmonics. 72 EDO has been taught, written and performed in practice by Joe Maneri and his students (whose atonal inclinations typically avoid any reference to just intonation whatsoever). It can be considered an extension of 12 EDO because 72 is a multiple of 12. 72 EDO does not accurately approximate the 13th harmonic or most simple ratios involving 13. It contains six copies of 12 EDO starting on different pitches, three copies of 24 EDO, and two copies of 36 EDO, which are themselves multiples of 12. 96 EDO 96 EDO approximates all intervals within 6.25 cents, which is barely distinguishable. As an eightfold multiple of 12, it can be used fully like the common 12 EDO. It has been advocated by several composers, especially Julián Carrillo. Other equal divisions of the octave that have found occasional use include 15 EDO, 17 EDO, and 22 EDO. 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 and 15601 are denominators of first convergents of log(3), so 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 and 15601 twelfths (and fifths), being in correspondent equal temperaments equal to an integer number of octaves, are better approximations of 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 and 15601 just twelfths/fifths than in any equal temperament with fewer tones. 1, 2, 3, 5, 7, 12, 29, 41, 53, 200, is the sequence of divisions of octave that provides better and better approximations of the perfect fifth. Related sequences containing divisions approximating other just intervals are listed in a footnote.

Октава емес интервалдардың тең темпераменттері

Болен-Пирс шкаласының тең темперлі нұсқасы 3:1 (1902 цент) арақатынасынан тұрады, бұл теорияда тритава деп аталатын, кемелді бесінші және октавадан (яғни, кемелді он екіншіден) тұрады және 13 тең бөлікке бөлінеді. Бұл тек тақ сандардан құралған әділ дыбыстық қатынастарға өте жақын келеді. Әр қадам 146,3 центке тең, немесе... Венди Карлос 30 мен 120 цент аралығындағы қадам өлшемдеріне ие мүмкін темпераменттердің қасиеттерін жан-жақты зерттегеннен кейін үш ерекше тең темперамент жасады. Олар альфа, бета және гамма деп аталды. Оларды толық бесіншінің тең бөліністері деп қарастыруға болады. Олардың әрқайсысы бірнеше әділ интервалдардың өте жақсы жуықтамасын ұсынады. Олардың қадам өлшемдері:
альфа: (78,0 цент)
бета: (63,8 цент)
гамма: (35,1 цент)
Альфа және бета Карлостың 1986 жылғы «Beauty in the Beast» альбомының титулдық трегінде естілуі мүмкін.

Жарты тон мен толық тон арасындағы арақатынастар

Бұл бөлімде жарты және толық дыбыстар әдеттегі 12 EDO мағыналарына ие болмауы мүмкін, себебі бұл қажетті қатынастарды жасау үшін олардың табиғи түрлерінен қалай өзгешеленуі мүмкін екенін талқылайды. Жарты тонның қадамдарының саны s, ал тонның қадамдарының саны t болсын. Яғни, q-ны қатынастағы бөлшекке бекіту, осы қатынасты орындайтын бір тең темперамент пен оның еселіктерінен тұратын бірегей отбасын анықтайды. Мысалы, k – бүтін сан болса, жиындар жиындарды және жиындарды анықтайды. Бұл отбасылардағы ең кіші еселіктердің (мысалы, жоғарыдағы 12, 19 және 31) бесіншілер шеңберінен тыс ноталары жоқ қосымша қасиеті бар. (Бұл әрқашан дұрыс емес; 24-тегі жартылай диездер мен жартылай бемольдер 5-тен басталатын шеңберде жатпайды.) Ең шекті жағдайлар – бұл жерде және жарты тон унисонға айналады, ал , онда жарты тон мен тон бірдей интервалды құрайды. Осы тең темпераменттегі жарты тон мен тонның қадамдарының санын білген соң, октавадағы қадамдардың санын табуға болады. Жоғарыда аталған қасиеттері бар тең темперамент (бесіншілер шеңберінен тыс ноталары жоқ) октаваны бөліп, бесіншілікті бөледі. Егер бесіншілер шеңберінен тыс ноталар болса, осы нәтижелерді n-ге көбейту қажет, мұнда n – барлық ноталарды құруға қажетті бесіншілер шеңберлерінің саны (мысалы, 24 үшін екі, 72 үшін алты). (Бұл мақсатта кіші жарты тонды алу керек: 19-да екі жарты тон бар, біреуі – тон, екіншісі – тон. Сол сияқты, 31-де екі жарты тон бар, біреуі – тон, екіншісі – тон). Бұл отбасылардың ең кішісі – және атап айтқанда, 12 – жоғарыда аталған қасиеттері бар ең кіші тең темперамент. Бұған қоса, ол жарты тонды дәл жарты тонға тең етеді, бұл ең қарапайым қатынас. Осы себептердің арқасында 12 ең көп қолданылатын тең темпераментке айналды. (Тағы бір себебі – 12 EDO 5-ші шекті гармонияға ең жақын тең темперамент, ал келесі ең жақын 19 EDO.) Қатынас үшін q бөлшегінің әр таңдауы дәл бір тең темперамент отбасын тудырады, бірақ керісінше дұрыс емес: 47-де екі түрлі жарты тон бар, біреуі – тон, екіншісі – , олар 19-дағыдай ( және ) бір-бірін толықтырмайды. Әр жарты тонды таңдау әртүрлі бесіншіліктерді анықтайды.

In this section, semitone and whole tone may not have their usual 12 EDO meanings, as it discusses how they may be tempered in different ways from their just versions to produce desired relationships. Let the number of steps in a semitone be s, and the number of steps in a tone be t.

There is exactly one family of equal temperaments that fixes the semitone to any proper fraction of a whole tone, while keeping the notes in the right order (meaning that, for example, , , , , and are in ascending order if they preserve their usual relationships to ). That is, fixing q to a proper fraction in the relationship also defines a unique family of one equal temperament and its multiples that fulfil this relationship. For example, where k is an integer, sets sets and sets The smallest multiples in these families (e. g. 12, 19 and 31 above) has the additional property of having no notes outside the circle of fifths. (This is not true in general; in 24 , the half sharps and half flats are not in the circle of fifths generated starting from .) The extreme cases are where and the semitone becomes a unison, and , where and the semitone and tone are the same interval. Once one knows how many steps a semitone and a tone are in this equal temperament, one can find the number of steps it has in the octave. An equal temperament with the above properties (including having no notes outside the circle of fifths) divides the octave into and the perfect fifth into If there are notes outside the circle of fifths, one must then multiply these results by n, the number of nonoverlapping circles of fifths required to generate all the notes (e. g., two in 24 , six in 72 ). (One must take the small semitone for this purpose: 19 has two semitones, one being tone and the other being Similarly, 31 has two semitones, one being tone and the other being ). The smallest of these families is and in particular, 12 is the smallest equal temperament with the above properties. Additionally, it makes the semitone exactly half a whole tone, the simplest possible relationship. These are some of the reasons 12 has become the most commonly used equal temperament. (Another reason is that 12 EDO is the smallest equal temperament to closely approximate 5 limit harmony, the next smallest being 19 EDO.) Each choice of fraction q for the relationship results in exactly one equal temperament family, but the converse is not true: 47 has two different semitones, where one is tone and the other is , which are not complements of each other like in 19 ( and ). Taking each semitone results in a different choice of perfect fifth.

Диатоникалық тұрақты күйлендірулер

12 тондық тең темпераменттегі диатоникалық көйлеуді октаваны қадамдар тізбегі ретінде бөлетін кез келген тұрақты диатоникалық көйлеуге (немесе оның дөңгелек ауысуы немесе "айналымына") жалпылауға болады. Диатоникалық көйлеу деп аталу үшін екі жарты үннің әрқайсысы үлкен тоннан (Т) және кіші тоннан (t) кіші болуы керек. Үлкен және кіші тон арасындағы мөлшерлік қатынасты κ комасы көрсетеді: Жиіліктермен немесе центтермен берілгенде. Тұрақты диатоникалық көйлеудегі ноталар "бесіндік спиральда" байланысқан, ол жабылмайды (шеңбердегі бесіндік шеңберден өзгеше). До нотасынан (C тоналылығында) бастап, қатарынан үш таза бесіндік аралықтар болады – – – , – , және – – , олардың әрқайсысы кіші аралықтардың кейбір түрленулерінен құралған. Үш дұрыс бесіндік аралықтар ауыр бесіндікпен – (ауыр – "комамен төмен") үзіледі, содан кейін тағы бір таза бесіндік – , және тағы бір ауыр бесіндік – , содан кейін өткір ноталармен – басталады; осы үлгі өткір ноталар арқылы қайталанады, содан кейін қос өткір ноталар және т.б., шексіз. Бірақ барлық табиғи, өткір немесе қос өткір ноталардың әр октавасы табиғидан өткірге немесе бір өткірден екі өткірге ауысқанда екі комамен төмендейді және т.б. Үлгі жазық ноталарда да кері симметриялы: Төрттен төмен түскенде, үлгі табиғи ноталардан жазық ноталарға немесе жазық ноталардан қос жазық ноталарға ауысқанда ноталарды екі комамен көтереді. Егер өзгертілмесе, барлық табиғи, өткір немесе жазық ноталардың әр блогындағы екі ауыр бесіндік аралық "қасқыр" аралықтары болып табылады: әр ауыр бесіндік диатоникалық комамен дұрыс емес. Кома, κ, кіші тонды үлкен тонға дейін кеңейтеді, сондықтан дұрыс октаваны диатоникалық жарты үннің s, хроматикалық жарты үннің c және комалардың тізбегіне (немесе оның дөңгелек ауысуына) бөлуге болады. Әр түрлі тең темпераменттер интервал өлшемдерін өзгертеді, әдетте үш команы бөліп, содан кейін олардың бөліктерін жеті диатоникалық жарты үн s, немесе бес хроматикалық жарты үн c, немесе s және c-ге, әр жарты үн түріне белгілі бір пропорциямен қайта бөледі. s, c және κ интервалдар тізбесін 12 бесіндік үлкен спиральға қайта-қайта қосуға болады және бір немесе бірнеше интервалдардың мөлшерін сәл түзету арқылы оның алыс шеттерінде байланыстыруға болады немесе кез келген кем емес бесіндікпен өзгертілмей қалдырылады, комамен төмен.

The diatonic tuning in 12 tone equal temperament can be generalized to any regular diatonic tuning dividing the octave as a sequence of steps (or some circular shift or "rotation" of it). To be called a regular diatonic tuning, each of the two semitones ( s ) must be smaller than either of the tones (greater tone,  T , and lesser tone,  t ). The comma κ is implicit as the size ratio between the greater and lesser tones: Expressed as frequencies or as cents
The notes in a regular diatonic tuning are connected in a "spiral of fifths" that does not close (unlike the circle of fifths in Starting on the subdominant (in the key of C) there are three perfect fifths in a row—–, –, and –—each a composite of some permutation of the smaller intervals The three in tune fifths are interrupted by the grave fifth – (grave means "flat by a comma"), followed by another perfect fifth, –, and another grave fifth, –, and then restarting in the sharps with –; the same pattern repeats through the sharp notes, then the double sharps, and so on, indefinitely. But each octave of all natural or all sharp or all double sharp notes flattens by two commas with every transition from naturals to sharps, or single sharps to double sharps, etc. The pattern is also reverse symmetric in the flats: Descending by fourths the pattern reciprocally sharpens notes by two commas with every transition from natural notes to flattened notes, or flats to double flats, etc. If left unmodified, the two grave fifths in each block of all natural notes, or all sharps, or all flat notes, are "wolf" intervals: Each of the grave fifths out of tune by a diatonic comma. Since the comma, κ, expands the lesser tone into the greater tone, a just octave can be broken up into a sequence (or a circular shift of it) of diatonic semitones s, chromatic semitones c, and commas Various equal temperaments alter the interval sizes, usually breaking apart the three commas and then redistributing their parts into the seven diatonic semitones s, or into the five chromatic semitones c, or into both s and c, with some fixed proportion for each type of semitone. The sequence of intervals s, c, and κ can be repeatedly appended to itself into a greater spiral of 12 fifths, and made to connect at its far ends by slight adjustments to the size of one or several of the intervals, or left unmodified with occasional less than perfect fifths, flat by a comma.

Диатоникалық күйлерді EDO-ға түрлендіру

Егер үлкен және кіші тонның (Т, t) мөлшері бірдей болып өзгертілсе (мысалы, , қалғандары октаваны толтыру үшін кеңейтілсе), және екі жартытон (s және c) бірдей мөлшерде болса, онда он екі тең жартытон, әр тонға екі, шығады. [[12 тең темпераментте|], жартытон, s, бірдей мөлшердегі толық тонның T = t-ның дәл жартысына тең болады. Тондар мен жартытонның аралық мөлшерлері тең темперамент жүйелерінде де, үтір мен жартытонның мөлшерін өзгерту арқылы жасалуы мүмкін. c және κ мөлшері нөлге жақындағанда, октава тұрақты сақталса, ал s және κ нөлге жақындағанда ; бұл, әрине, жағдай және мысалы: және осы шеңберді қоршап тұратын екі ең шекті жағдай бар: s және κ октаваның мөлшері тұрақты сақталғанда нөлге дейін азайтылса, нәтиже 5 тонды тең темперамент болады. S үлкендегенде (әлде κ үтір үшін бұрын қолданылған кеңістікті сіңірсе), ақырында қадамдардың барлығы бірдей болады, нәтижесінде 7 тонды тең темперамент шығады. Бұл екі шекті жағдай «дәстүрлі» диатоникалық құлау ретінде қарастырылмайды. Егер диатоникалық жартытон хроматикалық жартытоннан екі есе үлкен болса, яғни (центтермен) , онда хроматикалық жартытон c үшін бір қадам, диатоникалық жартытон s үшін екі қадам, T = t тон үшін үш қадам және қадамдардың жалпы саны 19 қадам болады. 12 тондық ішкі жүйе тарихи маңызды мейтондық жүйеге жақын. Егер хроматикалық жартытон диатоникалық жартытонның үштен екі бөлігін құраса, яғни , нәтиже 31 болады, хроматикалық жартытон үшін екі қадам, диатоникалық жартытон үшін үш қадам және тон үшін бес қадам, барлығы 31 қадам. 12 тондық ішкі жүйе тарихи маңызды мейтонға жақын. Егер хроматикалық жартытон үш үтірге тең болса, (центтерде, жиілікте), ал диатоникалық жартытон бес үтірге тең болса, онда кіші тон сегіз үтір, үлкен тон тоғыз үтірге тең болады, демек, әрқайсысы бір үтірден тұратын 53 қадам болады. Үтірдің мөлшері / қадамның мөлшері дәл сол, немесе синтоникалық үтір. Бұл жақсы интонацияға өте жақын және әлі де классикалық түрік музыка теориясында қолданылады.

An equal temperament can be created if the sizes of the major and minor tones (T, t) are altered to be the same (say, by setting , with the others expanded to still fill out the octave), and both semitones (s and c) the same size, then twelve equal semitones, two per tone, result. In [[12 equal temperament|, the semitone, s, is exactly half the size of the same size whole tones T = t.

Some of the intermediate sizes of tones and semitones can also be generated in equal temperament systems, by modifying the sizes of the comma and semitones. One obtains in the limit as the size of c and κ tend to zero, with the octave kept fixed, and in the limit as s and κ tend to zero; is of course, the case and For instance:

and There are two extreme cases that bracket this framework: When s and κ reduce to zero with the octave size kept fixed, the result is a 5 tone equal temperament. As the s gets larger (and absorbs the space formerly used for the comma κ), eventually the steps are all the same size, and the result is seven tone equal temperament. These two extremes are not included as "regular" diatonic tunings. If the diatonic semitone is set double the size of the chromatic semitone, i. e. (in cents) and the result is with one step for the chromatic semitone c, two steps for the diatonic semitone s, three steps for the tones T = t, and the total number of steps 19 steps. The imbedded 12 tone sub system closely approximates the historically important meantone system. If the chromatic semitone is two thirds the size of the diatonic semitone, i. e. with the result is 31 , with two steps for the chromatic semitone, three steps for the diatonic semitone, and five steps for the tone, where 31 steps. The imbedded 12 tone sub system closely approximates the historically important meantone. If the chromatic semitone is made the same size as three commas, (in cents, in frequency ) the diatonic the same as five commas, that makes the lesser tone eight commas and the greater tone nine, Hence for 53 steps of one comma each. The comma size / step size is exactly, or the syntonic comma. It is an exceedingly close approximation to just intonation, and is still in use for classical Turkish music theory.