Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада топологиялық кеңістіктегі реттелген өлшем – кез келген өлшенетін жиынтықты жоғарыдан ашық өлшенетін жиынтықтармен, ал төменнен – ықшам өлшенетін жиынтықтармен жуықтауға болатын өлшем.
In mathematics, a regular measure on a topological space is a measure for which every measurable set can be approximated from above by open measurable sets and from below by compact measurable sets.
Тұрақты шаралар
Нақты түзудегі Лебег өлшемі – реттелген өлшем: Лебег өлшемі үшін реттелгендік теоремасын қараңыз. Кез келген жергілікті тығыз σ-тығыз Хаусдорф кеңістігіндегі кез келген Бейр ықтималдық өлшемі – реттелген өлшем болып табылады. Жергілікті компактты Хаусдорф кеңістігінде, егер топологиясы үшін саналатын база болса, немесе компактты метрикалық кеңістікте, немесе Радон кеңістігіндегі кез келген Борель ықтималдық өлшемі реттелген болады.
The Lebesgue measure on the real line is a regular measure: see the regularity theorem for Lebesgue measure. Any Baire probability measure on any locally compact σ compact Hausdorff space is a regular measure. Any Borel probability measure on a locally compact Hausdorff space with a countable base for its topology, or compact metric space, or Radon space, is regular.
Сыртқы тұрақты емес ішкі тұрақты шаралар
Нақты түзуде әдеттегі топологиясы бар, сыртқы тұрақты емес өлшемнің мысалы – бұл өлшем, мұнда , , және кез келген басқа жиын үшін. Борелдің жазықтықтағы өлшемі, кез келген Борел жиынына оның көлденең қималарының (бір өлшемді) өлшемдерінің қосындысын сәйкес келтіреді, ішкі тұрақты, бірақ сыртқы тұрақты емес, себебі әрбір бос емес ашық жиынның шексіз өлшемі бар. Бұл мысалдың вариациясы – Лебег өлшемімен нақты түзудің санаусыз көп көшірмелерінің бірінен-біріне жатқан жиыны. Ішкі тұрақты, σ-шекті және жергілікті шекті, бірақ сыртқы тұрақты емес, жергілікті тығыз Хаусдорф кеңістігіндегі Борел өлшемінің мысалы келесідей беріледі. Топологиялық кеңістіктің негізгі жиыны – нақты жазықтықтың y осьімен берілген бөлігі, сондай-ақ m және n оң бүтін сандары бар (1/n, m/n²) нүктелері. Топология келесідей анықталады: жеке нүктелердің барлығы (1/n, m/n²) ашық жиындар болып табылады. (0, y) нүктесінің маңындағы аудандардың базасы – (u, v) түріндегі X-тегі барлық нүктелерден тұратын кенелер арқылы беріледі, мұнда |v − y| ≤ |u| ≤ 1/n, n – оң бүтін сан. Бұл X кеңістігі жергілікті тығыз. μ өлшемі y осьінің өлшемі 0-ге тең және (1/n, m/n²) нүктесінің өлшемі 1/n³-ке тең деп анықталады. Бұл өлшем ішкі тұрақты және жергілікті шекті, бірақ сыртқы тұрақты емес, себебі y осьін қамтитын кез келген ашық жиынның өлшемі шексіз.
An example of a measure on the real line with its usual topology that is not outer regular is the measure where , , and for any other set The Borel measure on the plane that assigns to any Borel set the sum of the (1 dimensional) measures of its horizontal sections is inner regular but not outer regular, as every non empty open set has infinite measure. A variation of this example is a disjoint union of an uncountable number of copies of the real line with Lebesgue measure. An example of a Borel measure on a locally compact Hausdorff space that is inner regular, σ finite, and locally finite but not outer regular is given by as follows. The topological space has as underlying set the subset of the real plane given by the y axis together with the points (1/n,m/n2) with m,n positive integers. The topology is given as follows. The single points (1/n,m/n2) are all open sets. A base of neighborhoods of the point (0,y) is given by wedges consisting of all points in X of the form (u,v) with |v − y| ≤ |u| ≤ 1/n for a positive integer n. This space X is locally compact. The measure μ is given by letting the y axis have measure 0 and letting the point (1/n,m/n2) have measure 1/n3. This measure is inner regular and locally finite, but is not outer regular as any open set containing the y axis has measure infinity.
Ішкі тұрақты емес сыртқы тұрақты өлшемдер
Егер μ бұрынғы мысалдағы ішкі реттелген өлшем болса, ал M – M(S) = inf{μ(U) : U ⊇ S, U – ашық жиын} арқылы берілген өлшем болса, онда M – жергілікті компактты Hausdorff кеңістігінде сыртқы реттелген, жергілікті шекті Борель өлшемі, бірақ күшті мағынада ішкі реттелген емес, барлық ашық жиынтықтар ішкі реттелген болғандықтан, ол әлсіз мағынада ішкі реттелген. M және μ өлшемдері барлық ашық жиынтықтарда, барлық компактты жиынтықтарда және M шекті өлшемді барлық жиынтықтарда сәйкес келеді. Y осінің шексіз M өлшемі бар, бірақ оның барлық компактты ішкі жиынтықтарының өлшемі 0-ге тең. Дискретті топологиясы бар өлшенетін кардинал Борель ықтималдық өлшеміне ие, сондықтан әрбір компактты ішкі жиынның өлшемі 0-ге тең, демек бұл өлшем сыртқы реттелген, бірақ ішкі реттелген емес. Өлшенетін кардиналдардың болуын ZF жиынтық теориясында дәлелдеу мүмкін емес, бірақ (2013 жылға дейін) онымен үйлесімді деп есептеледі.
If μ is the inner regular measure in the previous example, and M is the measure given by M(S) = infU⊇S μ(U) where the inf is taken over all open sets containing the Borel set S, then M is an outer regular locally finite Borel measure on a locally compact Hausdorff space that is not inner regular in the strong sense, though all open sets are inner regular so it is inner regular in the weak sense. The measures M and μ coincide on all open sets, all compact sets, and all sets on which M has finite measure. The y axis has infinite M measure though all compact subsets of it have measure 0. A measurable cardinal with the discrete topology has a Borel probability measure such that every compact subset has measure 0, so this measure is outer regular but not inner regular. The existence of measurable cardinals cannot be proved in ZF set theory but (as of 2013) is thought to be consistent with it.
Ішкі және сыртқы жүйелі емес шаралар
Барлық ординалдардың ең көп дегенде бірінші санауға келмейтін ординал Ω-ға дейінгі кеңістігі, ашық аралықтармен туындаған топологиямен, компактты Хаусдорф кеңістігі болып табылады. Саналатын ординалдардың шексіз жабық ішкі жиынын қамтитын Борель жиындарына 1 өлшемді, ал қалған Борель жиындарына 0 өлшемді тағайындайтын өлшем, ішкі тұрақты да, сыртқы тұрақты да емес Борель ықтималдық өлшемі болып табылады.
The space of all ordinals at most equal to the first uncountable ordinal Ω, with the topology generated by open intervals, is a compact Hausdorff space. The measure that assigns measure 1 to Borel sets containing an unbounded closed subset of the countable ordinals and assigns 0 to other Borel sets is a Borel probability measure that is neither inner regular nor outer regular.