Введение
В математике регулярная мера на топологическом пространстве — это мера, для которой любое измеримое множество можно приблизить сверху открытыми измеримыми множествами, а снизу — компактными измеримыми множествами.
Регулярные меры
Мерка Лебега на вещественной прямой является регулярной мерой: см. теорему о регулярности меры Лебега. Любая вероятностная мера Байера на любом локально компактном σ-компактном пространстве Гаусдорфа является регулярной мерой. Любая вероятностная мера Бореля на локально компактном пространстве Гаусдорфа с счетной базой для его топологии, или на компактном метрическом пространстве, или на пространстве Радона, является регулярной.
Внутренние регулярные меры, которые не являются внешними регулярными
Примером меры на вещественной прямой с её обычной топологией, которая не является внешне регулярной, является мера, где , , и для любого другого множества. Мера Бореля на плоскости, которая присваивает любому множеству Бореля сумму (одномерных) мер его горизонтальных сечений, является внутренне регулярной, но не внешне регулярной, поскольку каждое непустое открытое множество имеет бесконечную меру. Вариацией этого примера является непересекающееся объединение несчётного числа копий вещественной прямой с мерой Лебега. Пример меры Бореля на локально компактном хаусдорфовом пространстве, которая является внутренне регулярной, σ-конечной и локально конечной, но не внешне регулярной, задаётся следующим образом. Топологическое пространство имеет в качестве базового множества подмножество вещественной плоскости, заданное осью y, вместе с точками (1/n, m/n²) с m и n – положительными целыми числами. Топология задаётся следующим образом: все единичные точки (1/n, m/n²) являются открытыми множествами. Базис окрестностей точки (0, y) задаётся клиньями, состоящими из всех точек в X вида (u, v) с |v − y| ≤ |u| ≤ 1/n для положительного целого числа n. Это пространство X локально компактно. Мера μ задаётся следующим образом: оси y присваивается мера 0, а точке (1/n, m/n²) присваивается мера 1/n³. Эта мера внутренне регулярна и локально конечна, но не внешне регулярна, поскольку любое открытое множество, содержащее ось y, имеет бесконечную меру.
Внешние регулярные меры, которые не являются внутренними регулярными
Если μ — внутренняя регулярная мера в предыдущем примере, а M — мера, заданная выражением M(S) = inf{μ(U) : U ⊇ S, U — открытое множество}, где inf берется по всем открытым множествам, содержащим множество Бореля S, то M — внешняя регулярная локально конечная мера Бореля на локально компактном пространстве Гаусдорфа, которая не является внутренне регулярной в сильном смысле, хотя все открытые множества внутренне регулярны, поэтому она внутренне регулярна в слабом смысле. Меры M и μ совпадают на всех открытых множествах, всех компактных множествах и всех множествах, для которых M имеет конечную меру. Ось y имеет бесконечную M-меру, хотя все ее компактные подмножества имеют меру 0. Измеримый кардинал с дискретной топологией имеет меру Бореля вероятности, такую что каждое компактное подмножество имеет меру 0, поэтому эта мера внешне регулярна, но не внутренне регулярна. Существование измеримых кардиналов нельзя доказать в теории множеств ZF, но (по состоянию на 2013 год) считается, что оно с ней совместимо.
Меры, которые не являются ни внутренними, ни внешними регулярными
Пространство всех ординалов, не превосходящих первое несчётное ординальное число Ω, с топологией, порождённой открытыми интервалами, является компактным пространством Гаусдорфа. Мера, которая присваивает меру 1 множествам Бореля, содержащим неограниченное замкнутое подмножество счётных ординалов, и присваивает 0 другим множествам Бореля, является борелевской мерой вероятности, которая не является ни внутренне регулярной, ни внешне регулярной.