Топтық теориядағы Тиетце түрлендірулері – топтың берілген ұсынысын өзгертіп, жаңа, қарапайым түріне келтіру. Генераторлар мен қатынастар негізінде жұмыс жасайды.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Топтар теориясында Тиец трансформациялары топтың берілген презентациясын сол топтың тағы бір, көбінесе жеңілдетілген презентациясына түрлендіру үшін қолданылады. Бұл трансформациялар 1908 жылы мақаласында оларды енгізген Генрих Френц Фридрих Тиец есімімен аталған. Презентация генераторлар мен қатынастар арқылы беріледі; формальды түрде презентация – атаулы генераторлар жиынының және генераторлардың еркін тобындағы қатынастар ретінде қарастырылатын сөздер жиынының жұбы. Тиец трансформациялары элементар қадамдардан құралады, олардың әрқайсысы жеке-жеке презентацияны изоморфты топтың презентациясына айналдырады. Бұл элементар қадамдар генераторлармен немесе қатынастармен жұмыс істей алады және төрт түрлі болады.
In group theory, Tietze transformations are used to transform a given presentation of a group into another, often simpler presentation of the same group. These transformations are named after Heinrich Franz Friedrich Tietze who introduced them in a paper in 1908. A presentation is in terms of generators and relations; formally speaking the presentation is a pair of a set of named generators, and a set of words in the free group on the generators that are taken to be the relations. Tietze transformations are built up of elementary steps, each of which individually rather evidently takes the presentation to a presentation of an isomorphic group. These elementary steps may operate on generators or relations, and are of four kinds.
Қатынасты қосу
Егер қатынасты қолданыстағы қатынастардан шығаруға болады, онда оны топты өзгертпей тұжырымдамаға қосуға болады. G=〈 x | x³=1 〉 – 3-реттік циклдік топтың шекті тұжырымдамасы болсын. x³=1 теңдігінің екі жағын x³-ке көбейтіп, x⁶ = x³ = 1 аламыз. Осыдан x⁶ = 1 қатынасын x³ = 1 қатынасынан шығаруға болады. Сондықтан G=〈 x | x³=1, x⁶=1 〉 – осы топтың тағы бір тұжырымдамасы.
If a relation can be derived from the existing relations then it may be added to the presentation without changing the group. Let G=〈 x | x3=1 〉 be a finite presentation for the cyclic group of order 3. Multiplying x3=1 on both sides by x3 we get x6 = x3 = 1 so x6 = 1 is derivable from x3=1. Hence G=〈 x | x3=1, x6=1 〉 is another presentation for the same group.
Қатынасты өшіру
Егер берілген қатынасты басқа қатынастардан шығаруға болады, онда оны топқа әсер етпей берілгеннен шығарып тастауға болады. Мысалы, G = < x | x³ = 1, x⁶ = 1 > үшін x⁶ = 1 қатынасын x³ = 1 қатынасынан шығаруға болады, сондықтан оны қауіпсіз түрде шығарып тастауға болады. Бірақ, егер x³ = 1 қатынасын шығарып тастасақ, онда G = < x | x⁶ = 1 > тобы 6 реттік циклдік топты анықтайды және бұл бастапқы топқа тең болмайды. Шығарылған қатынастар қалған қатынастардың салдары екенін көрсетуге көңіл бөлу керек.
If a relation in a presentation can be derived from the other relations then it can be removed from the presentation without affecting the group. In G = 〈 x | x3 = 1, x6 = 1 〉 the relation x6 = 1 can be derived from x3 = 1 so it can be safely removed. Note, however, that if x3 = 1 is removed from the presentation the group G = 〈 x | x6 = 1 〉 defines the cyclic group of order 6 and does not define the same group. Care must be taken to show that any relations that are removed are consequences of the other relations.
Генераторды қосу
Берілген презентация бойынша, бастапқы генераторлардың сөзі ретінде берілген жаңа генератор қосу мүмкін. Мысалы, G = <x | x³ = 1> болғанда және y = x² деп алсақ, жаңа презентация G = <x, y | x³ = 1, y = x²> сол топты анықтайды.
Given a presentation it is possible to add a new generator that is expressed as a word in the original generators. Starting with G = 〈 x | x3 = 1 〉 and letting y = x2 the new presentation G = 〈 x,y | x3 = 1, y = x2 〉 defines the same group.
Генераторды шығару
Егер бір генератордың басқа генераторларда сөз ретінде өрнектелетін қатынасы болса, онда осы генераторды жоюға болады. Мұны істеу үшін жойылған генератордың барлық кездесуін оған тең балама сөзбен алмастыру қажет. 4-ретті элементарлық абель тобының G=〈 x,y,z | x = yz, y2=1, z2=1, x=x−1 〉 презентациясы, x-ті жою арқылы G = 〈 y,z | y2 = 1, z2 = 1, (yz) = (yz)−1 〉 презентациясымен алмастырылуы мүмкін.
If a relation can be formed where one of the generators is a word in the other generators then that generator may be removed. In order to do this it is necessary to replace all occurrences of the removed generator with its equivalent word. The presentation for the elementary abelian group of order 4, G=〈 x,y,z | x = yz, y2=1, z2=1, x=x−1 〉 can be replaced by G = 〈 y,z | y2 = 1, z2 = 1, (yz) = (yz)−1 〉 by removing x.