Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В теории групп преобразования Тиеце используются для преобразования заданного представления группы в другое представление той же группы, часто более простое. Эти преобразования названы в честь Генриха Франца Фридриха Тиеце, который ввёл их в статье 1908 года. Представление задаётся с помощью образующих и соотношений; формально, представление — это пара, состоящая из множества именованных образующих и множества слов в свободной группе, порождённой этими образующими, которые принимаются за соотношения. Преобразования Тиеце строятся из элементарных шагов, каждый из которых по отдельности очевидно приводит к представлению изоморфной группы. Эти элементарные шаги могут оперировать с образующими или соотношениями и бывают четырех типов.
In group theory, Tietze transformations are used to transform a given presentation of a group into another, often simpler presentation of the same group. These transformations are named after Heinrich Franz Friedrich Tietze who introduced them in a paper in 1908. A presentation is in terms of generators and relations; formally speaking the presentation is a pair of a set of named generators, and a set of words in the free group on the generators that are taken to be the relations. Tietze transformations are built up of elementary steps, each of which individually rather evidently takes the presentation to a presentation of an isomorphic group. These elementary steps may operate on generators or relations, and are of four kinds.
Добавление отношения
Если отношение может быть выведено из существующих отношений, то его можно добавить в представление, не изменяя группу. Пусть G = <x | x³ = 1> будет конечным представлением для циклической группы порядка 3. Умножая обе части равенства x³ = 1 на x³, получаем x⁶ = x³ = 1, следовательно, x⁶ = 1 выводится из x³ = 1. Таким образом, G = <x | x³ = 1, x⁶ = 1> является другим представлением той же группы.
If a relation can be derived from the existing relations then it may be added to the presentation without changing the group. Let G=〈 x | x3=1 〉 be a finite presentation for the cyclic group of order 3. Multiplying x3=1 on both sides by x3 we get x6 = x3 = 1 so x6 = 1 is derivable from x3=1. Hence G=〈 x | x3=1, x6=1 〉 is another presentation for the same group.
Удаление отношения
Если отношение в задании группы может быть выведено из других отношений, то его можно удалить из задания без изменения группы. В G = 〈 x | x³ = 1, x⁶ = 1 〉 отношение x⁶ = 1 может быть выведено из x³ = 1, поэтому его можно безопасно удалить. Однако, если x³ = 1 удалить из задания, то группа G = 〈 x | x⁶ = 1 〉 определяет циклическую группу шестого порядка и не определяет ту же самую группу. Следует тщательно проверять, что любые удаляемые отношения являются следствиями остальных отношений.
If a relation in a presentation can be derived from the other relations then it can be removed from the presentation without affecting the group. In G = 〈 x | x3 = 1, x6 = 1 〉 the relation x6 = 1 can be derived from x3 = 1 so it can be safely removed. Note, however, that if x3 = 1 is removed from the presentation the group G = 〈 x | x6 = 1 〉 defines the cyclic group of order 6 and does not define the same group. Care must be taken to show that any relations that are removed are consequences of the other relations.
Добавление генератора
При заданном представлении можно добавить новый генератор, который выражается словом из исходных генераторов. Начиная с G = <x | x³ = 1> и полагая y = x², новое представление G = <x, y | x³ = 1, y = x²> определяет ту же группу.
Given a presentation it is possible to add a new generator that is expressed as a word in the original generators. Starting with G = 〈 x | x3 = 1 〉 and letting y = x2 the new presentation G = 〈 x,y | x3 = 1, y = x2 〉 defines the same group.
Снятие генератора
Если можно сформировать соотношение, в котором один из образующих является словом, составленным из других образующих, то этот образующий можно удалить. Для этого необходимо заменить все вхождения удаленного образующего на его эквивалентное выражение. Представление для элементарной абелевой группы порядка 4, G = <x, y, z | x = yz, y² = 1, z² = 1, x = x⁻¹>, можно заменить на G = <y, z | y² = 1, z² = 1, (yz) = (yz)⁻¹> путем удаления x.
If a relation can be formed where one of the generators is a word in the other generators then that generator may be removed. In order to do this it is necessary to replace all occurrences of the removed generator with its equivalent word. The presentation for the elementary abelian group of order 4, G=〈 x,y,z | x = yz, y2=1, z2=1, x=x−1 〉 can be replaced by G = 〈 y,z | y2 = 1, z2 = 1, (yz) = (yz)−1 〉 by removing x.