Кіріспе
Математикада Хелмслев түрлендіруі – бүтін гиперболалық жазықтықты шекті радиусы бар шеңберге бейнелеудің тиімді әдісі. Бұл түрлендіруді даниялық математик Йоханнес Хелмслев ойлап тапқан. Ол Николай Иванович Лобачевскийдің «Параллельдер теориясы бойынша геометриялық зерттеулер» еңбегінен 23-ші теоремасын қолданады. Лобачевский өзінің 16-шы және 23-ші теоремаларының үйлесімін пайдалана отырып, гиперболалық геометрияның ерекше қасиеті – кез келген берілген сызық ұзындығы үшін параллелизмнің нақты бір бұрышы болуы керектігін атап көрсетті. Мысалы, AE ұзындығы үшін оның параллелизм бұрышы BAF бұрышы болсын. Осыған байланысты AH және EJ сызықтары гиперпараллель болады, демек олар ешқашан қиыспайды. Сәйкесінше, A мен E арасындағы AE негізіне перпендикуляр жүргізілген кез келген сызық, AH сызығын белгілі бір қашықтықта сөзсіз кесіп өтеді. Йоханнес Хелмслев осыдан бүтін гиперболалық жазықтықты шекті шеңберге сығу әдісін ашты.
Ресмилендіру
Хелмслевтік түрлендіру – гиперболалық (Лобачевский) кеңістіктегі барлық нүктелерге қолданылатын функция. Берілген бұрыш, және бастапқы нүкте шарттарында, бұл түрлендіру келесі қасиеттері сақталатын бейнелерді тудырады:
Ортасы болған шеңбердің бейнесі – ортасы болған шеңбер. Тікбұрышты бұрыштың бейнесі – тікбұрышты бұрыш. Кез келген бұрыштың төбесі болса, ол өзіне-өзі түрлендіріледі, яғни төбесі сақталады. Бір қабырғасы арқылы өтетін тікбұрыштың бейнесі – бір қабырғасы арқылы өтетін тікбұрыш. Кез келген түзу сызықтың бейнесі – шекті түзу сызық сегменті. Соңында, нүктелердің реті түрлендіру кезінде сақталады, яғни егер B нүктесі A мен C нүктелерінің арасында жатса, онда B-нің бейнесі A-ның бейнесі мен C-нің бейнесінің арасында болады.
Бұл функция гиперболалық (Лобачевский) кеңістікті зерттеуде пайдалы, себебі ол параллель түзулердің ерекше фигураларын жасайды. Егер екі параллель түзу берілген болса, онда олардың бейнелері параллельдік бағытында жоқ нүктесі бар үшбұрышты құрайды.
Бір нүктеді бейнеге айналдыру
Берілген , , , нүктесінің (сурет) бейнесін табу үшін, ең алдымен нүктесін координаталардың басына қосатын сызық кесіндісін салыңыз. Содан кейін, нүктесін анықтау үшін ғана қажет болатын сызықтың бойында қосымша сызық салыңыз.
Now construct the perpendicular line passing through the point , perpendicular to This will form the right angle at point :
Using line segment as a radius, construct a circle with center such that the circumference of said circle intersects at a point Thus, we obtain the point on line segment , which is the Hjelmslev transformation of the given point :
Енді нүктесі арқылы өтетін және оған перпендикуляр болатын перпендикуляр сызықты салыңыз. Бұл нүктесінде тік бұрышты құрайды.
Now construct the perpendicular line passing through the point , perpendicular to This will form the right angle at point :
Using line segment as a radius, construct a circle with center such that the circumference of said circle intersects at a point Thus, we obtain the point on line segment , which is the Hjelmslev transformation of the given point :
Сызық кесіндісін радиус ретінде пайдаланып, ортасы нүктесі болатын шеңбер салыңыз, оның шеңбері сызығымен нүктеде қиылысады. Осылайша, біз нүктесін сызық кесіндісінде аламыз, ол берілген нүктесінің Хельмслев түрлендіруі болып табылады.
Now construct the perpendicular line passing through the point , perpendicular to This will form the right angle at point :
Using line segment as a radius, construct a circle with center such that the circumference of said circle intersects at a point Thus, we obtain the point on line segment , which is the Hjelmslev transformation of the given point :
Хелмслев дискісі
бойынша параллельдік бұрышымен параллель болсын. Екі параллель түзудегі әрбір нүкте үшін түрлендіруді орындау арқылы Хелмслев шеңбері пайда болады:
Құрылған шеңбердің ұзындығы жазықтықта сәйкес келетін орны болмайды, сондықтан Хелмслев түрлендіруінің нәтижесі Хелмслев дискісі деп аталады. Сол сияқты, егер бұл түрлендіру үш өлшемде кеңейтілсе, ол Хелмслев шар деп аталады.
Хелмслевтің түрлендіруі мен Клейннің моделі
Егер біз гиперболалық кеңістікті Клейн моделі арқылы көрсетсек және Хелмслев түрлендіруінің центрін Клейн моделінің орталық нүктесі деп есептесек, онда Хелмслев түрлендіруі бірлік дискідегі нүктелерді радиусы бірден кіші дискідегі нүктелерге бейнелейді. Нақты сан k берілгенде, егер айналымдарды ескермесек, Хелмслев түрлендіруі, іс жүзінде, Клейн моделіндегі нүктені көрсететін u векторын k u-ге бейнелеу арқылы алынады, мұнда 0<k<1. Сондықтан модель бойынша, бұл біртекті масштабтау болып табылады, яғни, түзулерді түзулерге жібереді және т.с.с. Гиперболалық кеңістікте өмір сүретін тіршіліктер үшін бұл карта жасаудың ыңғайлы тәсілі болуы мүмкін.
ku, with 0<k<1. It is therefore in terms of the model a uniform scaling which sends lines to lines and so forth. To beings living in a hyperbolic space it might be a suitable way of making a map.