Введение

В математике преобразование Хелмслева — эффективный метод отображения всей гиперболической плоскости в круг с конечным радиусом. Преобразование было изобретено датским математиком Йоханнесом Хелмслевом. Оно использует 23-ю теорему Николая Ивановича Лобачевского из его работы «Геометрические исследования теории параллельных линий». Лобачевский, используя комбинацию своих 16-й и 23-й теорем, отмечает, что фундаментальной характеристикой гиперболической геометрии является существование определённого угла параллелизма для любой заданной длины линии. Например, для длины AE угол параллелизма будет углом BAF. При этом прямые AH и EJ будут гиперпараллельны и, следовательно, никогда не пересекутся. Таким образом, любая прямая, проведённая перпендикулярно основанию AE между точками A и E, обязательно пересечёт прямую AH на конечном расстоянии. Йоханнес Хелмслев, исходя из этого, обнаружил способ сжатия всей гиперболической плоскости в круг конечного размера.

Формализация

Преобразование Хелмслева – это функция, обозначаемая как , которая действует на все точки в гиперболическом (Лобачевском) пространстве. Заданы угол , такой что , и начало координат , это отображение порождает образы , при которых сохраняются следующие свойства:

Образ окружности с центром в – это окружность с центром в . Образ прямого угла – это прямой угол. Любой угол с вершиной отображается на себя, то есть любой угол с вершиной сохраняется. Образ прямого угла с одной стороной, проходящей через , – это прямой угол с одной стороной, проходящей через . Образ любой прямой будет конечным отрезком прямой. Наконец, порядок точек сохраняется в ходе преобразования, то есть если точка B лежит между точками A и C, то образ точки B будет лежать между образами точек A и C.

Эта функция полезна при изучении гиперболического (Лобачевского) пространства, поскольку она позволяет получить характерные фигуры, образованные параллельными прямыми. Заданы две параллельные прямые , такие что , их образы , образуют треугольник с мнимой вершиной в направлении их параллельности.

Преобразование одной точки в изображение

При условии , , , для того, чтобы найти образ точки . Сначала нарисуйте отрезок , соединяющий точку с началом координат. Далее, постройте вспомогательную прямую таким образом, что точка необходима только для определения этой прямой. Теперь постройте перпендикулярную прямую , проходящую через точку , перпендикулярно к . Это сформирует прямой угол в точке .

Используя отрезок в качестве радиуса, постройте окружность с центром , так чтобы окружность этой окружности пересекала прямую в точке . Таким образом, мы получаем точку на отрезке , которая является преобразованием Хелмслева данной точки .

Диск Хелмслева

Пусть будет параллельна , где является углом параллелизма. Применяя это преобразование к каждой точке на двух параллельных прямых, мы получаем круг Хелмслева. Окружность полученного круга не имеет соответствующей точки в плоскости, и поэтому результат преобразования Хелмслева более правильно называть диском Хелмслева. Аналогично, при расширении этого преобразования на все три измерения, оно называется шаром Хелмслева.

Преобразование Хелмслева и модель Кляйна

Если мы представим гиперболическое пространство с помощью модели Кляйна и примем центр преобразования Хьельмслева за центральную точку модели Кляйна, то преобразование Хьельмслева отображает точки в единичном диске в точки диска, центрированного в начале координат, с радиусом меньше единицы. При заданном вещественном числе k, преобразование Хьельмслева, если не учитывать вращения, по сути является результатом отображения вектора u, представляющего точку в модели Кляйна, в ku, где 0 < k < 1. Таким образом, в терминах модели это равномерное масштабирование, которое переводит линии в линии и так далее. Для существ, обитающих в гиперболическом пространстве, это может быть подходящим способом создания карты.