Бөлшектік физика мен өкілдік теориясының байланысы
Particle physics and representation theory
Бөлшектік физика мен өкілдік теориясы арасындағы байланыс, Э.Вигнердің еңбектерінен бастау алады. Бұл байланыс элементар бөлшектердің қасиеттерін Ли топтарымен түсіндіреді.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Физика мен математика байланысы
Physics mathematics connection
Бөлшек физикасы мен бейнелеу теориясы арасында табиғи байланыс бар, бұл алғаш рет 1930 жылдары Юджин Вигнер атап өткен. Ол элементар бөлшектердің қасиеттерін Ли тобы мен Ли алгебрасының құрылымымен байланыстырады. Осы байланыс бойынша, элементар бөлшектің әр түрлі кванттық күйлері Пуанкаре тобының ирредуктибелді бейнелеуін тудырады. Сонымен қатар, бөлшектердің түрлі қасиеттері, олардың спектрлерін қоса алғанда, ғаламның "шамамен симметрияларына" сәйкес келетін Ли алгебраларының бейнелерімен байланыстырылуы мүмкін.
There is a natural connection between particle physics and representation theory, as first noted in the 1930s by Eugene Wigner. It links the properties of elementary particles to the structure of Lie groups and Lie algebras. According to this connection, the different quantum states of an elementary particle give rise to an irreducible representation of the Poincaré group. Moreover, the properties of the various particles, including their spectra, can be related to representations of Lie algebras, corresponding to "approximate symmetries" of the universe.
Кәдімгі және проекциялық бейнелеулер
Физикалық тұрғыдан алғанда, бұл әдеттегі бейнелеуі болуы міндетті емес; фазалық факторларды олардың құрамындағы заңдылықтан жою үшін анықтамадағы фазалық факторларды таңдау мүмкін болмайды. Мысалы, электрон – спині жарты бөлшек болатын бөлшеке; оның Гильберт кеңістігі екі өлшемді спинор кеңістігіндегі мәндері бар толқындық функциялардан тұрады. Спинор кеңістігіндегі әсер тек проективті: ол әдеттегі бейнелеуден туындамайды. Дегенмен, спинор кеңістігіндегі әдеттегі бейнелеуіне әмбебап жабынның сәйкес келетіні бар. Көптеген қызықты топтар кластары үшін Баргман теоремасы, кез келген проективті унитарлық бейнелеу осы топтың әмбебап жабынының әдеттегі бейнелеуінен туындайды дейді. Егер топ шекті өлшемді болса, онда топқа қарамастан, кез келген проективті унитарлық бейнелеу оның әмбебап жабынының әдеттегі унитарлық бейнелеуінен туындайды. Егер топ шексіз өлшемді болса, онда қажетті қорытындыны алу үшін оның алгебралық қасиеттері туралы кейбір болжамдар жасалуы керек (төменде қараңыз). Бұл жағдайда нәтиже Баргман теоремасы болып табылады. Әйгілі болғандай, Пуанкаре тобының маңызды жағдайында Баргман теоремасы қолданылады. (Пуанкаре тобының әмбебап жабынының бейнелеулерінің Вигнер жіктемесін қараңыз.) Жоғарыда айтылған талап – Ли алгебрасы тривиальды емес бір өлшемді орталық кеңейтімді қабылдамайды. Бұл тек және ғана екінші когомология тобы тривиальды болғанда ғана орын алады. Бұл жағдайда топ дискретті топтың орталық кеңейтімдерін қабылдауы мүмкін. Бірақ дискретті топтардың кеңейтімдері – жабындар. Мысалы, әмбебап жабын орталық кіші топтың өзі топтың ортасы болып табылатын, негізгі топқа изоморфты үлестің арқылы топпен байланысты. Осылайша, қолайлы жағдайларда кванттық жүйе симметрия тобының әмбебап жабынының унитарлық бейнелеуін алып жүреді. Бұл қажет, өйткені векторлық емес кеңістікке қарағанда осымен жұмыс істеу әлдеқайда оңай. Егер топтың бейнелеулері жіктелген болса, оның мүмкіндіктері мен қасиеттері туралы көп көбірек ақпарат қолжетімді болады.
It is important physically that in general does not have to be an ordinary representation of ; it may not be possible to choose the phase factors in the definition of to eliminate the phase factors in their composition law. An electron, for example, is a spin one half particle; its Hilbert space consists of wave functions on with values in a two dimensional spinor space. The action of on the spinor space is only projective: It does not come from an ordinary representation of There is, however, an associated ordinary representation of the universal cover of on spinor space. For many interesting classes of groups , Bargmann's theorem tells us that every projective unitary representation of comes from an ordinary representation of the universal cover of Actually, if is finite dimensional, then regardless of the group , every projective unitary representation of comes from an ordinary unitary representation of If is infinite dimensional, then to obtain the desired conclusion, some algebraic assumptions must be made on (see below). In this setting the result is a theorem of Bargmann. Fortunately, in the crucial case of the Poincaré group, Bargmann's theorem applies. (See Wigner's classification of the representations of the universal cover of the Poincaré group.) The requirement referred to above is that the Lie algebra does not admit a nontrivial one dimensional central extension. This is the case if and only if the second cohomology group of is trivial. In this case, it may still be true that the group admits a central extension by a discrete group. But extensions of by discrete groups are covers of For instance, the universal cover is related to through the quotient with the central subgroup being the center of itself, isomorphic to the fundamental group of the covered group. Thus, in favorable cases, the quantum system will carry a unitary representation of the universal cover of the symmetry group This is desirable because is much easier to work with than the non vector space If the representations of can be classified, much more information about the possibilities and properties of are available.
Гейзенберг ісі
Баргман теоремасы қолданылмайтын мысал, байланысты фазалық кеңістіктің трансляциялық симметриялар тобында қозғалатын кванттық бөлшектен туындайды. , коммутативтік топ болып табылады. Қандай да бір дәстүрлі кванттық-механикалық тұрғыдан қарағанда, бұл симметрия бірлік өкілдігі арқылы іске асырылмайды. Себебі, кванттық жағдайда, координаталық кеңістіктегі және импульс кеңістіктегі трансляциялар бір-бірімен коммутацияламайды. Бұл коммутацияламау, координата және импульс операторларының – импульс кеңістігіндегі және координаталық кеңістіктегі трансляциялардың инфинитезималдық генераторлары – коммутацияламауының нәтижесі болып табылады. Дегенмен, координаталық кеңістіктегі және импульс кеңістіктегі трансляциялар фазалық факторға дейін коммутациялайды. Осылайша, бізде жақсы анықталған проективтік өкілдігі бар, бірақ ол , қарапайым өкілдігінен туындамайды, тіпті болса да жай ғана байланысты. Бұл жағдайда, қарапайым өкілдік алу үшін, Хайзенберг тобына көшу қажет, ол .
An example in which Bargmann's theorem does not apply comes from a quantum particle moving in The group of translational symmetries of the associated phase space, , is the commutative group In the usual quantum mechanical picture, the symmetry is not implemented by a unitary representation of After all, in the quantum setting, translations in position space and translations in momentum space do not commute. This failure to commute reflects the failure of the position and momentum operators—which are the infinitesimal generators of translations in momentum space and position space, respectively—to commute. Nevertheless, translations in position space and translations in momentum space do commute up to a phase factor. Thus, we have a well defined projective representation of , but it does not come from an ordinary representation of , even though is simply connected. In this case, to obtain an ordinary representation, one has to pass to the Heisenberg group, which is a nontrivial one dimensional central extension of .
Поинкаре тобы
Трансляциялар мен Лоренц түрлендірулері тобы Пуанкаре тобын құрайды, және бұл топ релятивистік кванттық жүйенің симметриясы болуы керек (жалпы салыстырмалылық эффектілерін ескермей, яғни, жазық кеңістікте). Поинкаре тобының өкілдіктері көп жағдайда теріс емес массамен және жартылай бүтін спинмен сипатталады (Вигнер жіктемесін қараңыз); мұны бөлшектердің спинінің квантталған болуының себебі деп қарастыруға болады. (Айта кетсек, кейбір жағдайларда квантталған спині немесе белгілі бір массасы жоқ тахиондар, инфрабөлшектер және т.б. сияқты басқа да өкілдіктер бар.)
The group of translations and Lorentz transformations form the Poincaré group, and this group should be a symmetry of a relativistic quantum system (neglecting general relativity effects, or in other words, in flat spacetime). Representations of the Poincaré group are in many cases characterized by a nonnegative mass and a half integer spin (see Wigner's classification); this can be thought of as the reason that particles have quantized spin. (Note that there are in fact other possible representations, such as tachyons, infraparticles, etc., which in some cases do not have quantized spin or fixed mass.)
Басқа симметриялар
Поинкаре тобындағы кеңістік-уақыт симметрияларын көру және түсіну оңай болғанымен, ішкі симметриялар деп аталатын тағы да басқа симметриялар бар. Мысалы, түстік SU(3) симметриясы – бұл үш кварк түсінің үздіксіз алмасуына сәйкес келетін нақты симметрия.
While the spacetime symmetries in the Poincaré group are particularly easy to visualize and believe, there are also other types of symmetries, called internal symmetries. One example is color SU(3), an exact symmetry corresponding to the continuous interchange of the three quark colors.
Ли алгебрасы мен Ли тобы
Көптеген (бірақ барлығы емес) симметриялар немесе шамамен симметриялар Ли топтарын құрайды. Бұл Ли топтарының бейнелеу теориясын зерттеудің орнына, көбінесе есептеу оңай болатын, сәйкес Ли алгебраларының тығыз байланысты бейнелеу теориясын зерттеу дұрыс. Енді, Ли алгебрасының бейнелері бастапқы топтың әмбебап жабынының бейнелеріне сәйкес келеді. Шектелген өлшемді жағдайда және шексіз өлшемді жағдайда, Баргман теоремасы қолданылғанда, бастапқы топтың азайтылмайтын проекциялық бейнелері әмбебап жабынның қарапайым унитарлық бейнелеріне сәйкес келеді. Мұндай жағдайларда Ли алгебра деңгейінде есептеу орынды. Бұл, атап айтқанда, SO(3) айналу тобының азайтылмайтын проекциялық бейнелерін зерттеу үшін қатысты. Олар SO(3) әмбебап жабыны SU(2) -мен бір-бірге сәйкес келеді. SU(2) бейнелері, өз кезегінде, SO(3) Ли алгебрасының su(2) Ли алгебрасымен бір-бірге сәйкес келеді, ол SO(3) Ли алгебрасы so(3) -қа изоморфты. Осылайша, қорытындылай келе, SO(3) проекциялық азайтылмайтын бейнелері оның Ли алгебрасы so(3) азайтылмайтын қарапайым бейнелерімен бір-бірге сәйкес келеді. Мысалы, Ли алгебрасының екі өлшемді "спин 1/2" бейнелеуі SO(3) тобының қарапайым (бірмәнді) бейнелеуіне сәйкес келмейді. (Осы фактінің нәтижесінде "егер электронның толқындық функциясын 360 градусқа бұрсаңыз, бастапқы толқындық функцияның терісін аласыз" деген тұжырымдар пайда болды.) Дегенмен, спин 1/2 бейнелеуі физикалық тұрғыдан қажетті SO(3) проекциялық анықталған бейнелеуін тудырады.
Many (but not all) symmetries or approximate symmetries form Lie groups. Rather than study the representation theory of these Lie groups, it is often preferable to study the closely related representation theory of the corresponding Lie algebras, which are usually simpler to compute. Now, representations of the Lie algebra correspond to representations of the universal cover of the original group. In the finite dimensional case—and the infinite dimensional case, provided that Bargmann's theorem applies—irreducible projective representations of the original group correspond to ordinary unitary representations of the universal cover. In those cases, computing at the Lie algebra level is appropriate. This is the case, notably, for studying the irreducible projective representations of the rotation group SO(3). These are in one to one correspondence with the ordinary representations of the universal cover SU(2) of SO(3). The representations of the SU(2) are then in one to one correspondence with the representations of its Lie algebra su(2), which is isomorphic to the Lie algebra so(3) of SO(3). Thus, to summarize, the irreducible projective representations of SO(3) are in one to one correspondence with the irreducible ordinary representations of its Lie algebra so(3). The two dimensional "spin 1/2" representation of the Lie algebra so(3), for example, does not correspond to an ordinary (single valued) representation of the group SO(3). (This fact is the origin of statements to the effect that "if you rotate the wave function of an electron by 360 degrees, you get the negative of the original wave function.") Nevertheless, the spin 1/2 representation does give rise to a well defined projective representation of SO(3), which is all that is required physically.
Шамамен симметриялар
Жоғарыда аталған симметриялар нақты деп саналса да, басқа симметриялар жуықтап келгенде ғана сақталады.
Although the above symmetries are believed to be exact, other symmetries are only approximate.
Гипотетикалық мысал
Шамамен симметрияның не екенін түсіндіру үшін, бір экспериментатор шексіз ферромагниттің ішінде тұрады делік, ондағы магниттелу белгілі бір бағытта. Осындай жағдайда экспериментатор бір емес, екі түрлі электронды анықтайды: біреуі магниттелу бағытымен спині бірге, энергиясы сәл төмен (демек, массасы да төмен), ал екіншісі спині магниттелуге қарсы бағытталған, массасы жоғары. Көбінесе спин жоғары электронды спин төмен электронмен байланыстыратын біздің әдеттегі SO(3) айналу симметриясы, осы гипотетикалық жағдайда тек шамамен симметрияға айналып, әртүрлі бөлшектерді бір-бірімен байланыстырады.
As an example of what an approximate symmetry means, suppose an experimentalist lived inside an infinite ferromagnet, with magnetization in some particular direction. The experimentalist in this situation would find not one but two distinct types of electrons: one with spin along the direction of the magnetization, with a slightly lower energy (and consequently, a lower mass), and one with spin anti aligned, with a higher mass. Our usual SO(3) rotational symmetry, which ordinarily connects the spin up electron with the spin down electron, has in this hypothetical case become only an approximate symmetry, relating different types of particles to each other.
Жалпы анықтама
Жалпы, шамамен симметрия осы симметрияны сақтайтын өте күшті өзара әрекеттесулер мен оны сақтамайтын әлсіз өзара әрекеттесулер болғанда туындайды. Жоғарыдағы электрон мысалында, электрондардың екі "түрі" күшті және әлсіз күштерге бірдей, ал электромагниттік күшке әртүрлі жауап береді.
In general, an approximate symmetry arises when there are very strong interactions that obey that symmetry, along with weaker interactions that do not. In the electron example above, the two "types" of electrons behave identically under the strong and weak forces, but differently under the electromagnetic force.
Мысал: дәм симметриясы
Изоспиндік симметрия дәмдік симметрияға жалпылауға болады, бұл жоғары кварктар, төмен кварктар және ерекше кварктар арасындағы ұқсастыққа сәйкес келетін SU(3) тобы. Бұл да шамамен симметрия, кварктардың массаларының айырмашылығы және электрожұқ әсерлесуі оны бұзады. Шындығында, ерекше кварктің айқын түрде жоғары массасының себебімен изоспинге қарағанда бұл нашаррақ жуықтама. Дегенмен, Мюррей Гелл-Манн және Юваль Неъман тәуелсіз түрде атап өткендей, бөлшектерді SU(3) Ли алгебрасының өзгермейтін бейнелерін құрайтын топтарға жіктеуге болады.
Isospin symmetry can be generalized to flavour symmetry, an SU(3) group corresponding to the similarity between up quarks, down quarks, and strange quarks. This is, again, an approximate symmetry, violated by quark mass differences and electroweak interactions—in fact, it is a poorer approximation than isospin, because of the strange quark's noticeably higher mass. Nevertheless, particles can indeed be neatly divided into groups that form irreducible representations of the Lie algebra SU(3), as first noted by Murray Gell Mann and independently by Yuval Ne'eman.