Связь физики и математики: представления групп и элементарные частицы.
Particle physics and representation theory
Связь физики частиц и математики: теория представлений Ли групп и алгебр описывает свойства элементарных частиц и симметрии Вселенной. Физика, математика, симметрии.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Физика и математика: связь
Physics mathematics connection
Существует естественная связь между физикой частиц и теорией представлений, впервые отмеченная Юджином Вигнером в 1930-х годах. Она связывает свойства элементарных частиц со структурой групп Ли и алгебр Ли. Согласно этой связи, различные квантовые состояния элементарной частицы порождают неприводимое представление группы Пуанкаре. Более того, свойства различных частиц, включая их спектры, могут быть соотнесены с представлениями алгебр Ли, соответствующими "приблизительным симметриям" Вселенной.
There is a natural connection between particle physics and representation theory, as first noted in the 1930s by Eugene Wigner. It links the properties of elementary particles to the structure of Lie groups and Lie algebras. According to this connection, the different quantum states of an elementary particle give rise to an irreducible representation of the Poincaré group. Moreover, the properties of the various particles, including their spectra, can be related to representations of Lie algebras, corresponding to "approximate symmetries" of the universe.
Обычные и проективные представления
Важно с физической точки зрения, что в общем случае не обязано быть обычным представлением; может оказаться невозможным выбрать фазовые факторы в определении для устранения фазовых факторов в их законе композиции. Например, электрон – это частица со спином 1/2; его гильбертово пространство состоит из волновых функций на с значениями в двумерном спинорном пространстве. Действие на спинорное пространство является лишь проективным: оно не происходит из обычного представления. Однако существует связанное обычное представление универсального накрытия на спинорном пространстве. Для многих интересных классов групп, теорема Баргмана утверждает, что каждое проективное унитарное представление из происходит из обычного представления универсального накрытия. Действительно, если размерность конечна, то независимо от группы, каждое проективное унитарное представление из происходит из обычного унитарного представления. Если размерность бесконечна, то для получения желаемого заключения необходимо сделать некоторые алгебраические предположения относительно (см. ниже). В этом случае результатом является теорема Баргмана. К счастью, в решающем случае группы Пуанкаре теорема Баргмана применима. (См. классификацию Вигнера представлений универсального накрытия группы Пуанкаре.) Требование, упомянутое выше, заключается в том, что алгебра Ли не допускает нетривиального одномерного центрального расширения. Это справедливо тогда и только тогда, когда вторая когомологическая группа тривиальна. В этом случае может оказаться верным, что группа допускает центральное расширение дискретной группой. Но расширения по дискретным группам являются накрытиями. Например, универсальное накрытие связано с отношением, причём центральная подгруппа является центром самой себя, изоморфной фундаментальной группе покрываемой группы. Таким образом, в благоприятных случаях квантовая система будет нести унитарное представление универсального накрытия группы симметрии. Это желательно, поскольку с ним гораздо легче работать, чем с пространством, не являющимся векторным. Если представления можно классифицировать, становится доступно гораздо больше информации о возможностях и свойствах.
It is important physically that in general does not have to be an ordinary representation of ; it may not be possible to choose the phase factors in the definition of to eliminate the phase factors in their composition law. An electron, for example, is a spin one half particle; its Hilbert space consists of wave functions on with values in a two dimensional spinor space. The action of on the spinor space is only projective: It does not come from an ordinary representation of There is, however, an associated ordinary representation of the universal cover of on spinor space. For many interesting classes of groups , Bargmann's theorem tells us that every projective unitary representation of comes from an ordinary representation of the universal cover of Actually, if is finite dimensional, then regardless of the group , every projective unitary representation of comes from an ordinary unitary representation of If is infinite dimensional, then to obtain the desired conclusion, some algebraic assumptions must be made on (see below). In this setting the result is a theorem of Bargmann. Fortunately, in the crucial case of the Poincaré group, Bargmann's theorem applies. (See Wigner's classification of the representations of the universal cover of the Poincaré group.) The requirement referred to above is that the Lie algebra does not admit a nontrivial one dimensional central extension. This is the case if and only if the second cohomology group of is trivial. In this case, it may still be true that the group admits a central extension by a discrete group. But extensions of by discrete groups are covers of For instance, the universal cover is related to through the quotient with the central subgroup being the center of itself, isomorphic to the fundamental group of the covered group. Thus, in favorable cases, the quantum system will carry a unitary representation of the universal cover of the symmetry group This is desirable because is much easier to work with than the non vector space If the representations of can be classified, much more information about the possibilities and properties of are available.
Дело Гейзенберга
Пример, в котором теорема Баргмана неприменима, возникает для квантовой частицы, движущейся в пространстве. Группа трансляционных симметрий соответствующего фазового пространства, , является коммутативной группой. В стандартной квантовомеханической картине эта симметрия не реализуется унитарным представлением. Ведь в квантовой механике трансляции в пространстве координат и трансляции в пространстве импульсов не коммутируют. Эта некоммутативность отражает некоммутативность операторов положения и импульса, которые являются бесконечно малыми генераторами трансляций в пространстве импульсов и пространстве координат, соответственно. Тем не менее, трансляции в пространстве координат и трансляции в пространстве импульсов коммутируют с точностью до фазового множителя. Таким образом, у нас есть корректно определенное проективное представление , но оно не происходит из обычного представления , хотя является односвязным пространством. В этом случае, чтобы получить обычное представление, необходимо перейти к группе Гейзенберга, которая является нетривиальным одномерным центральным расширением .
An example in which Bargmann's theorem does not apply comes from a quantum particle moving in The group of translational symmetries of the associated phase space, , is the commutative group In the usual quantum mechanical picture, the symmetry is not implemented by a unitary representation of After all, in the quantum setting, translations in position space and translations in momentum space do not commute. This failure to commute reflects the failure of the position and momentum operators—which are the infinitesimal generators of translations in momentum space and position space, respectively—to commute. Nevertheless, translations in position space and translations in momentum space do commute up to a phase factor. Thus, we have a well defined projective representation of , but it does not come from an ordinary representation of , even though is simply connected. In this case, to obtain an ordinary representation, one has to pass to the Heisenberg group, which is a nontrivial one dimensional central extension of .
Группа Понкаре
Группа трансляций и преобразований Лоренца образует группу Пуанкаре, и эта группа должна являться симметрией релятивистской квантовой системы (не учитывая эффекты общей теории относительности, или, другими словами, в плоском пространстве-времени). Представления группы Пуанкаре во многих случаях характеризуются неотрицательной массой и полуцелым спином (см. классификацию Вигнера); это можно рассматривать как причину того, что частицы обладают квантованным спином. (Следует отметить, что существуют и другие возможные представления, такие как тахионы, инфрачастицы и т.д., которые в некоторых случаях не имеют квантованного спина или фиксированной массы.)
The group of translations and Lorentz transformations form the Poincaré group, and this group should be a symmetry of a relativistic quantum system (neglecting general relativity effects, or in other words, in flat spacetime). Representations of the Poincaré group are in many cases characterized by a nonnegative mass and a half integer spin (see Wigner's classification); this can be thought of as the reason that particles have quantized spin. (Note that there are in fact other possible representations, such as tachyons, infraparticles, etc., which in some cases do not have quantized spin or fixed mass.)
Другие симметрии
В то время как пространственно-временные симметрии в группе Пуанкаре особенно легко представить и принять, существуют и другие типы симметрий, называемые внутренними симметриями. Одним из примеров является цветовая SU(3), точная симметрия, соответствующая непрерывному обмену трех кварковых цветов.
While the spacetime symmetries in the Poincaré group are particularly easy to visualize and believe, there are also other types of symmetries, called internal symmetries. One example is color SU(3), an exact symmetry corresponding to the continuous interchange of the three quark colors.
Алгебры Ли против групп Ли
Многие (но не все) симметрии или приближенные симметрии образуют группы Ли. Вместо изучения теории представлений этих групп Ли, часто предпочтительнее изучать тесно связанную с ней теорию представлений соответствующих алгебр Ли, которые обычно проще в вычислениях. Представления алгебры Ли соответствуют представлениям универсального накрытия исходной группы. В конечномерном случае – и в бесконечномерном, при условии применимости теоремы Баргмана – неприводимые проективные представления исходной группы соответствуют обычным унитарным представлениям универсального накрытия. В этих случаях вычисления на уровне алгебры Ли являются уместными. Это справедливо, в частности, для изучения неприводимых проективных представлений группы вращений SO(3). Они находятся в однозначном соответствии с обычными представлениями универсального накрытия SU(2) группы SO(3). Представления SU(2) затем находятся в однозначном соответствии с представлениями его алгебры Ли su(2), которая изоморфна алгебре Ли so(3) группы SO(3). Таким образом, подводя итог, неприводимые проективные представления SO(3) находятся в однозначном соответствии с неприводимыми обычными представлениями его алгебры Ли so(3). Например, двумерное представление "спина 1/2" алгебры Ли so(3) не соответствует обычному (однозначному) представлению группы SO(3). (Этот факт является причиной утверждений о том, что "если повернуть волновую функцию электрона на 360 градусов, то получишь отрицательное значение исходной волновой функции".) Тем не менее, спиновое представление 1/2 порождает хорошо определенное проективное представление SO(3), что и требуется с физической точки зрения.
Many (but not all) symmetries or approximate symmetries form Lie groups. Rather than study the representation theory of these Lie groups, it is often preferable to study the closely related representation theory of the corresponding Lie algebras, which are usually simpler to compute. Now, representations of the Lie algebra correspond to representations of the universal cover of the original group. In the finite dimensional case—and the infinite dimensional case, provided that Bargmann's theorem applies—irreducible projective representations of the original group correspond to ordinary unitary representations of the universal cover. In those cases, computing at the Lie algebra level is appropriate. This is the case, notably, for studying the irreducible projective representations of the rotation group SO(3). These are in one to one correspondence with the ordinary representations of the universal cover SU(2) of SO(3). The representations of the SU(2) are then in one to one correspondence with the representations of its Lie algebra su(2), which is isomorphic to the Lie algebra so(3) of SO(3). Thus, to summarize, the irreducible projective representations of SO(3) are in one to one correspondence with the irreducible ordinary representations of its Lie algebra so(3). The two dimensional "spin 1/2" representation of the Lie algebra so(3), for example, does not correspond to an ordinary (single valued) representation of the group SO(3). (This fact is the origin of statements to the effect that "if you rotate the wave function of an electron by 360 degrees, you get the negative of the original wave function.") Nevertheless, the spin 1/2 representation does give rise to a well defined projective representation of SO(3), which is all that is required physically.
Приблизительные симметрии
Хотя вышеуказанные симметрии считаются точными, другие симметрии лишь приближены.
Although the above symmetries are believed to be exact, other symmetries are only approximate.
Гипотетический пример
В качестве примера того, что означает приблизительная симметрия, представим, что экспериментатор находится внутри бесконечного ферромагнетика с намагниченностью в определенном направлении. В этой ситуации экспериментатор обнаружит не один, а два различных типа электронов: один с направлением спина вдоль направления намагниченности, с немного меньшей энергией (и, следовательно, меньшей массой), и другой с антипараллельным направлением спина, с большей массой. Наша обычная SO(3) симметрия вращения, которая обычно связывает электроны с направленным вверх и направленным вниз спином, в этом гипотетическом случае становится лишь приблизительной симметрией, устанавливающей связь между различными типами частиц.
As an example of what an approximate symmetry means, suppose an experimentalist lived inside an infinite ferromagnet, with magnetization in some particular direction. The experimentalist in this situation would find not one but two distinct types of electrons: one with spin along the direction of the magnetization, with a slightly lower energy (and consequently, a lower mass), and one with spin anti aligned, with a higher mass. Our usual SO(3) rotational symmetry, which ordinarily connects the spin up electron with the spin down electron, has in this hypothetical case become only an approximate symmetry, relating different types of particles to each other.
Общее определение
В общем, приблизительная симметрия возникает, когда существуют очень сильные взаимодействия, подчиняющиеся этой симметрии, вместе со слабыми взаимодействиями, которые ей не подчиняются. В примере с электронами, описанном выше, два "типа" электронов ведут себя одинаково под воздействием сильных и слабых взаимодействий, но по-разному – под воздействием электромагнитного взаимодействия.
In general, an approximate symmetry arises when there are very strong interactions that obey that symmetry, along with weaker interactions that do not. In the electron example above, the two "types" of electrons behave identically under the strong and weak forces, but differently under the electromagnetic force.
Пример: симметрия вкусов
Изоспиновую симметрию можно обобщить до симметрии ароматов, группы SU(3), соответствующей сходству между верхними, нижними и странными кварками. Это, опять же, приближенная симметрия, нарушаемая различиями в массах кварков и электрослабыми взаимодействиями — на самом деле, это менее точное приближение, чем изоспин, из-за значительно большей массы странного кварка. Тем не менее, частицы действительно можно аккуратно разделить на группы, образующие неприводимые представления алгебры Ли SU(3), как впервые заметил Мюррей Гелл-Манн и независимо от него Юваль Неэман.
Isospin symmetry can be generalized to flavour symmetry, an SU(3) group corresponding to the similarity between up quarks, down quarks, and strange quarks. This is, again, an approximate symmetry, violated by quark mass differences and electroweak interactions—in fact, it is a poorer approximation than isospin, because of the strange quark's noticeably higher mass. Nevertheless, particles can indeed be neatly divided into groups that form irreducible representations of the Lie algebra SU(3), as first noted by Murray Gell Mann and independently by Yuval Ne'eman.