Байре функциялары – математикадағы үзіліссіз функциялардан шексіз итерация арқылы алынатын функциялар. Байре жиындары, класс α функциялары туралы біліңіз.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада Байр функциялары – үздіксіз функциялардан функциялар тізбегінің нүктелік лиміттерін алу операциясының трансфинитті итерациясы арқылы алынатын функциялар. Оларды 1899 жылы Рене Луи Бэр енгізді. Байр жиыны – сипаттамалық функциясы Байр функциясы болатын жиын.
In mathematics, Baire functions are functions obtained from continuous functions by transfinite iteration of the operation of forming pointwise limits of sequences of functions. They were introduced by René Louis Baire in 1899. A Baire set is a set whose characteristic function is a Baire function.
Бейр функцияларының жіктелуі
А класындағы Бейр функциялары, кез келген санаулы ординал сан α үшін, топологиялық кеңістікте анықталған нақты мәнді функциялардың векторлық кеңістігін құрайды. Бейр класының 0 функциялары – үздіксіз функциялар. Бейр 1-классының функциялары – бұл Бейр 0-классының функцияларының тізбегінің нүктелік лимиті болып табылатын функциялар. Жалпы, Бейр класының α функциялары – бұл Бейр класының α-дан кіші функцияларының тізбегінің нүктелік лимиті болып табылатын барлық функциялар. Кейбір авторлар кластарды сәл өзгеше анықтайды, α класының функцияларынан α-дан төмен кластағы барлық функцияларды алып тастау арқылы. Бұл әрбір Бейр функциясының нақты анықталған класы бар екенін білдіреді, бірақ берілген кластағы функциялар енді векторлық кеңістікті құрамайды. Анри Лебег (Henri Lebesgue) бірлік аралығындағы функциялар үшін санаулы ординал санның әрбір Бейр класы кіші кластардың ешқайсысына жатпайтын функцияларды қамтитынын және Бейр класына жатпайтын функциялардың бар екенін дәлелдеді.
Baire functions of class α, for any countable ordinal number α, form a vector space of real valued functions defined on a topological space, as follows. The Baire class 0 functions are the continuous functions. The Baire class 1 functions are those functions which are the pointwise limit of a sequence of Baire class 0 functions. In general, the Baire class α functions are all functions which are the pointwise limit of a sequence of functions of Baire class less than α. Some authors define the classes slightly differently, by removing all functions of class less than α from the functions of class α. This means that each Baire function has a well defined class, but the functions of given class no longer form a vector space. Henri Lebesgue proved that (for functions on the unit interval) each Baire class of a countable ordinal number contains functions not in any smaller class, and that there exist functions which are not in any Baire class.
Баир класы 2
[0,1] аралығында 1-сыныпқа жатпайтын 2-сыныпты Байр функциясының мысалы – рационал сандардың сипаттамалық функциясы, сонымен қатар Дирихле функциясы деп те аталады, ол кез келген жерде үздіксіз емес.
An example of a Baire class 2 function on the interval [0,1] that is not of class 1 is the characteristic function of the rational numbers, , also known as the Dirichlet function which is discontinuous everywhere.
Баир класы 3
Мұндай функциялардың мысалы нормальді сандар жиынының индикаторы болып табылады, ол 3-ші дәрежедегі Борель жиыны.
An example of such functions is given by the indicator of the set of normal numbers, which is a Borel set of rank 3.