Введение

В математике функции Байра — это функции, полученные из непрерывных функций посредством трансфинитной итерации операции взятия поточечных пределов последовательностей функций. Они были введены Рене Луи Байром в 1899 году. Множество Байра — это множество, чья характеристическая функция является функцией Байра.

Классификация функций Байра

Функции Бейра класса α, для любого счетного ординального числа α, образуют векторное пространство вещественнозначных функций, определенных на топологическом пространстве, следующим образом. Функции класса 0 Бейра – это непрерывные функции. Функции класса 1 Бейра – это функции, являющиеся поточечным пределом последовательности функций класса 0 Бейра. В общем случае, функции класса Бейра α – это все функции, являющиеся поточечным пределом последовательности функций класса Бейра, меньшего чем α. Некоторые авторы определяют классы несколько иначе, исключая из функций класса α все функции класса, меньшего чем α. Это означает, что каждая функция Бейра имеет однозначно определенный класс, но функции заданного класса перестают образовывать векторное пространство. Анри Лебег доказал, что (для функций на единичном интервале) каждый класс Бейра счетного ординального числа содержит функции, не принадлежащие ни одному классу меньшего порядка, и что существуют функции, не принадлежащие ни одному классу Бейра.

Класс 2

Примером функции класса 2 Байра на интервале [0,1], не принадлежащей классу 1, является характеристическая функция рациональных чисел, также известная как функция Дирихле, которая разрывна во всех точках.

Класс 3

Примером таких функций является индикатор множества нормальных чисел, являющийся множеством Бореля ранга 3.