Кіріспе

Математикалық физикада ковариантты классикалық өріс теориясы классикалық өрістерді талшықтық бундельдердің қималары арқылы бейнелейді, ал олардың динамикасы өрістердің шекті өлшемді кеңістігінде қарастырылады. Бүгінде реактивті бундельдер мен вариациялық бикомплекс мұндай сипаттама үшін дұрыс сала екені белгілі. Ковариантты классикалық өріс теориясының Гамильтондық түрі – ковариантты Гамильтондық өріс теориясы, онда импульстар барлық әлемдік координаталар бойынша өріс айнымалыларының туындыларына сәйкес келеді. Автономиясыз механика уақыт осіндегі талшықтық бундельдердегі ковариантты классикалық өріс теориясы ретінде құрастырылады.

Мысалдар

Кванттық өріс теориясында қызығушылық тудыратын классикалық өріс теориясының көптеген маңызды мысалдары төменде келтірілген. Атап айтқанда, бұл теориялар бөлшектер физикасының Стандартты моделін құрайды. Осы мысалдар классикалық өріс теориясының жалпы математикалық формулировкасын талқылауда пайдаланылады.

Қос теориялар

Юкава байланысы: скалярлық және спинорлық өрістердің өзара әрекеттесуі. Скалярлық электродинамика/хромодинамика: скалярлық және өlçіштік өрістердің өзара әрекеттесуі. Кванттық электродинамика/хромодинамика: спинорлық және өlçіштік өрістердің өзара әрекеттесуі. Бұлар кванттық теориялар деп аталғанымен, Лагранж функцияларын классикалық өріс теориясының Лагранж функциялары ретінде қарастыруға болады.

Уақыт кеңістігі

Жұпқыры көптүрлілік.

Бұл әлемдік көптүрлілік (метрика сияқты қосымша құрылымдарсыз көптүрлілікті көрсету үшін), кең-уақыт (Лоренц метрикасымен жабдықталған жағдайда) немесе геометриялық көзқарас бойынша негізгі көптүрлілік деп әр түрлі аталады.

Уақыт кеңістігінің симметриясы

Уақыт-кеңістік симметрияларды қабылдауы мүмкін. Мысалы, егер ол метрикамен жабдықталған болса, бұл метриканың изометриялары болады, олар Killing векторлық өрістерімен туындайды. Симметриялар топты құрайды, уақыт-кеңістіктің автоморфизмдері. Осы жағдайда теорияның өрістері белгілі бір өкілдікте трансформациялануы керек. Мысалы, Минковский кеңістігі үшін симметриялар Пуанкаре тобы болып табылады.

Гаузер, негізгі бумалар және қосылыстар

Ішкі еркіндік дәрежелерінің (үздісіз) симметриясын сипаттайтын Лай тобы. Лай тобы – Лай алгебрасы сәйкестігі арқылы сәйкес келетін Лай алгебрасы деп белгіленеді. Бұл өлшегіш топ деп аталады. Басқаша айтқанда, торсор болатын негізгі буфер. Бұл кейде былай жазылады:

мұнда – -ның каноникалық проекциялық картасы, ал – базалық көпқырлы.

Қосылымдар мен өлшегіш өрістері

Бұл жерде біз байланысты басты байланыс ретінде қарастырамыз. Дала теориясында бұл байланыс ковариантты туынды ретінде де қарастырылады, оның түрлі далалардағы әрекеті кейін анықталады. Басты байланыс, белгіленген , "проекция" және "оң теңдестік" техникалық шарттарын қанағаттандыратын P-дегі 1-форма болып табылады: толық мәліметтер басты байланыс туралы мақалада келтірілген. Тrivialization (жергілікті теңдестіру) арқылы бұл жергілікті өлшегіш өрісі ретінде жазылуы мүмкін, ол trivialization жапсырмасындағы 1-форма болып табылады. Физикада өлшегіш өрістермен сәйкестендірілетін байланыстың осы жергілікті формасы. Егер базалық көпқырлы (manifold) жалпақ болса, онда бұл күрделілікті жоятын жеңілдетулер бар.

Лагранждық

Лагранждық: берілген талшықтық шоғыр үшін, Лагранждық – функция болады.
Материялық құрамы жоғарыдағы талшықтан алынған қималар арқылы берілген деп есептейік. Содан кейін, мысалы, нақтырақ қарастыратын болсақ, – бұл нүктесіндегі талшығы болатын шоғыр. Бұл өрістің функционалы ретінде қарастыруға мүмкіндік береді. Осымен жоғарыдағы мысалдар бөлімінде келтірілген теорияларды қоса алғанда, көптеген қызықты теориялар үшін қажетті математикалық алғышарттар толыққан болады.

Физикалық модель ретінде дәлдігі

Әлсіз гравитациялық қисықта, жазық кеңістік-уақыт әлсіз қисық кеңістік-уақытқа жақсы жуықтама болып табылады. Эксперименттер үшін бұл жуықтама қолданылады. Стандартты модель жазық кеңістік-уақытта анықталған және қазірге дейін физиканың ең жоғары дәлдіктегі тестілерін жасады.