Введение
В математической физике ковариантная классическая теория поля представляет классические поля как сечения расслоенных пространств, а их динамика формулируется в контексте конечномерного пространства полей. В настоящее время общепризнано, что расслоения касательных струй и вариационный бикомплекс являются корректной областью для такого описания. Гамильтоновский вариант ковариантной классической теории поля – это ковариантная гамильтонова теория поля, в которой импульсы соответствуют производным переменных поля по всем координатам пространства-времени. Неавтономная механика формулируется как ковариантная классическая теория поля на расслоениях над осью времени.
Примеры
Ниже приведены многие важные примеры классических теорий поля, представляющие интерес для квантовой теории поля. В частности, это теории, лежащие в основе Стандартной модели физики частиц. Эти примеры будут использованы при обсуждении общего математического формализма классической теории поля.
Сцепленные теории
Соединение Юкава: взаимодействие скалярных и спинорных полей. Скалярная электродинамика/хромодинамика: взаимодействие скалярных и калибровочных полей. Квантовая электродинамика/хромодинамика: взаимодействие спинорных и калибровочных полей. Несмотря на то, что эти теории называются квантовыми, лагранжианы можно рассматривать как лагранжианы классической теории поля.
Пространство-время
Гладкое многообразие.
Оно также известно как мировое многообразие (для акцента на самом многообразии, без дополнительных структур, таких как метрика), пространство-время (когда оно снабжено лоренцевой метрикой) или базовое многообразие, если рассматривать его с более геометрической точки зрения.
This is variously known as the world manifold (for emphasizing the manifold without additional structures such as a metric), spacetime (when equipped with a Lorentzian metric), or the base manifold for a more geometrical viewpoint.
Симметрии пространства-времени
Пространство-время может допускать симметрии. Например, если оно оснащено метрикой , то это изометрии , порождаемые полями Киллинга. Симметрии образуют группу, являющуюся группой автоморфизмов пространства-времени. В этом случае поля теории должны преобразовываться в соответствии с представлением этой группы. Например, для пространства Минковского симметрии образуют группу Пуанкаре.
For example, for Minkowski space, the symmetries are the Poincaré group .
Гейзер, основные пучки и соединения
Группа Ли, описывающая (непрерывные) симметрии внутренних степеней свободы. Соответствующая алгебра Ли, связанная с группой Ли посредством соответствия между группой Ли и алгеброй Ли, обозначается . Это называется группой калибровки. Главное расслоение, также известное как торсор. Иногда это записывается как , где — каноническая проекция на , а — базовое многообразие.
where is the canonical projection map on and is the base manifold.
Соединения и поля габаритов
Здесь мы рассматриваем связь как главную связь. В теории поля эта связь также рассматривается как ковариантная производная, действие которой на различные поля определяется далее. Главная связь, обозначаемая , является 1-формой со значениями в на P, удовлетворяющей техническим условиям "проекции" и "правой эквивариантности": подробности можно найти в статье о главной связи. При тривиализации её можно записать как локальное калибровочное поле , 1-форму со значениями в на тривиализационном атласе. Именно эта локальная форма связи отождествляется с калибровочными полями в физике. Когда базовое многообразие является плоским, возникают упрощения, устраняющие эту тонкость.
Лагранжский
Лагранжиан: задан пучок волокон, тогда Лагранжиан – это функция.
Предположим, что содержание материи задано сечениями пучка с волокном, определенным выше. Тогда, например, более конкретно мы можем рассматривать как пучок, где волокно в точке *p* равно *F*. Это позволяет рассматривать *L* как функционал поля. Это завершает математическую подготовку для большого числа интересных теорий, включая те, что приведены в разделе примеров выше.
Suppose that the matter content is given by sections of with fibre from above. Then for example, more concretely we may consider to be a bundle where the fibre at is This then allows to be viewed as a functional of a field. This completes the mathematical prerequisites for a large number of interesting theories, including those given in the examples section above.
Точность как физическая модель
При слабой гравитационной кривизне плоское пространство-время часто является хорошим приближением для слабо искривлённого пространства-времени. Для экспериментов это приближение достаточно хорошо. Стандартная модель построена на плоском пространстве-времени и на данный момент позволила провести наиболее точные прецизионные тесты физики.