Кіріспе

Математикалық ұғым

Математикада, әсіресе топтар теориясында, тікелей көбейтінді – G және H екі топты алып, жаңа топ құратын операция, әдетте G × H деп белгіленеді. Бұл операция жиындардың декарт көбейтіндісінің топтар теориясындағы аналогы болып табылады және математикада тікелей көбейтіндіге қатысты бірнеше маңызды түсініктердің бірі. Абельдік топтар контекстінде тікелей көбейтінді кейде тікелей қосынды деп аталады және Тікелей қосындылар абельдік топтарды жіктеуде маңызды рөл атқарады: шекті абельдік топтардың негізгі теоремасына сәйкес, кез келген шекті абельдік топты циклдік топтардың тікелей қосындысы ретінде көрсетуге болады.

Қалыпты құрылым

Жоғарыда айтылғандай, G және H кіші топтары G × H-де қалыпты. Атап айтқанда, функцияларды πG: G × H → G және πH: G × H → H келесідей анықтаңыз:

πG(g, h) = g және πH(g, h) = h.

Осыдан кейін πG және πH – проекциялық гомоморфизмдер деп аталатын гомоморфизмдер, олардың ядролары H және G болып табылады. Соның салдарынан, G × H – G-нің H арқылы кеңейтілуі (немесе керісінше). Егер G × H шекті топ болса, онда G × H-ның құрамына кіретін факторлар G және H-ның құрамына кіретін факторлардың бірігуімен сәйкес келеді.

Кіші топтар

Егер A – G тобының кіші тобы болса, ал B – H тобының кіші тобы болса, онда тікелей көбейтінді A × B – G × H тобының кіші тобы болады. Мысалы, G × H тобындағы G тобының изоморфты көшірмесі – H тобының тривиалды кіші тобымен көбейтіндісі болып табылады.

Егер A және B қалыпты болса, онда A × B – G × H тобының қалыпты кіші тобы болады. Сонымен қатар, тікелей көбейтінділердің фактортобы фактортоптардың тікелей көбейтіндісіне изоморфты:

Алайда, G × H тобының кез келген кіші тобы G тобының кіші тобының H тобының кіші тобымен көбейтіндісі бола бермейді. Мысалы, егер G – тривиалды емес кез келген топ болса, онда G × G тобында G тобының екі кіші тобының тікелей көбейтіндісі емес диагональді кіші топ болады.

Тікелей көбейтінділердің кіші топтары Гурса леммасымен сипатталады. Басқа кіші топтарға G және H топтарының талшықтық көбейтінділері жатады.

Тікелей өнімдер

Егер G және H топтар болса, G мен H-тың ішінен тікелей көбейтіндісі G × H-ның кез келген кіші тобы, проекциялық гомоморфизмдер арқылы G және H-ға эпиморфизм ретінде бейнеленетін топ болып табылады. Гурсат леммасы бойынша, кез келген ішінен тікелей көбейтінді талшықты көбейтінді болып табылады.

Талшықты өнімдер

G, H және Q топтар болсын, ал φ: G → Q және χ: H → Q гомоморфизмдер болсын. G мен H-ның Q арқылы талшықты көбейтіндісі, сондай-ақ кері тартылу деп аталады, G × H-дың келесі кіші тобы:

Егер φ: G → Q және χ: H → Q эпиморфизмдер болса, онда бұл субдиректтік көбейтінді болады.