Введение

Математическая концепция

В математике, в частности в теории групп, прямое произведение — это операция, которая берет две группы G и H и строит новую группу, обычно обозначаемую G × H. Эта операция является группотеоретическим аналогом декартова произведения множеств и является одним из нескольких важных понятий прямого произведения в математике. В контексте абелевых групп прямое произведение иногда называют прямой суммой и обозначают . Прямые суммы играют важную роль в классификации абелевых групп: согласно фундаментальной теореме о конечнопорожденных абелевых группах, каждая конечнопорожденная абелева группа может быть представлена в виде прямой суммы циклических групп.

Нормальная структура

Как упоминалось выше, подгруппы G и H нормальны в G × H. В частности, определим функции πG: G × H → G и πH: G × H → H следующим образом:

πG(g, h) = g     и     πH(g, h) = h.

Тогда πG и πH являются гомоморфизмами, известными как проекционные гомоморфизмы, ядрами которых являются H и G соответственно. Следовательно, G × H является расширением G посредством H (или наоборот). В случае, когда G × H является конечной группой, факторы разложения G × H совпадают с объединением факторов разложения G и факторов разложения H.

Подгруппы

Если A является подгруппой G и B является подгруппой H, то прямое произведение A × B является подгруппой G × H. Например, изоморфная копия G в G × H – это произведение , где – тривиальная подгруппа H. Если A и B нормальные, то A × B является нормальной подгруппой G × H. Более того, факторгруппа прямого произведения изоморфна прямому произведению факторгрупп: . Следует отметить, что не всегда верно, что каждая подгруппа G × H является прямым произведением подгруппы G и подгруппы H. Например, если G – любая нетривиальная группа, то G × G имеет диагональную подгруппу, которая не является прямым произведением двух подгрупп G. Подгруппы прямых произведений описываются леммой Гурса. Другие подгруппы включают в себя произведения по волокнам G и H.

Подпрямые продукты

Если G и H – группы, то подпрямым произведением G и H называется любая подгруппа G × H, которая отображается сюръективно на G и H посредством проекционных гомоморфизмов. По лемме Гурсата, любое подпрямое произведение является произведением по волокнам.

Продукты из волокон

Пусть G, H и Q — группы, а φ: G → Q и χ: H → Q — гомоморфизмы. Волокнистое произведение G и H по Q, также известное как обратное произведение (pullback), — это следующая подгруппа G × H:

Если φ: G → Q и χ: H → Q — эпиморфизмы, то это подпрямое произведение.