Кіріспе
Жалпы салыстырмалылық теориясының теориялық негіздемесі, соның ішінде геодезиялық теңдеу мен Эйнштейннің өріс теңдеулерінің негіздемесі, Жердің төңірегіндегі дөңгелек орбиталардағы бөлшектердің динамикасын қарастыру арқылы арнайы салыстырмалылық теориясынан алынуы мүмкін. Дөңгелек орбиталарды қарастырудың басты артықшылығы – Эйнштейннің өріс теңдеуінің шешімін алдын ала білу мүмкіндігі. Бұл формализмді толықтыру және тексеруге мүмкіндік береді. Жалпы салыстырмалылық теориясы екі сұраққа жауап береді: Уақыт-кеңістіктің қисықтығы материяның қозғалысына қалай әсер етеді? Материяның болуы уақыт-кеңістіктің қисықтығына қалай әсер етеді? Бірінші сұраққа геодезиялық теңдеумен жауап беріледі. Екінші сұрақ Эйнштейннің өріс теңдеуімен жауап беріледі. Геодезиялық теңдеу мен өріс теңдеуі ең аз әрекет принципі арқылы байланыстырылған. Геодезиялық теңдеудің негіздемесі «Шеңберлік орбиталар үшін геодезиялық теңдеу» бөлімінде келтірілген. Эйнштейннің өріс теңдеуінің мотивациясы «Кернеу-энергия тензоры» бөлімінде берілген. ТОК
How does the curvature of spacetime affect the motion of matter? How does the presence of matter affect the curvature of spacetime? The former question is answered with the geodesic equation. The second question is answered with the Einstein field equation. The geodesic equation and the field equation are related through a principle of least action. The motivation for the geodesic equation is provided in the section Geodesic equation for circular orbits. The motivation for the Einstein field equation is provided in the section Stress–energy tensor. TOC
Эйнштейн өрісі теңдеуін шешу
Эйнштейн өрісі теңдеуін шешу итеративті процесті қажет етеді. Шешім метрикалық тензор арқылы көрсетіледі. Әдетте, тензор үшін бастапқы шама бар. Бұл шама Кристоффель символдарын есептеу үшін қолданылады, ал олар қисықтықты есептеуге пайдаланылады. Егер Эйнштейн өрісі теңдеуі орындалмаса, процесс қайталанады. Шешімдер екі түрге бөлінеді: вакуумдық және вакуумдық емес. Вакуумдық шешім – бұл кернеу-энергия тензоры нөлге тең болатын жағдай. Дөңгелек орбиталар үшін тиісті вакуумдық шешім – Шварцшильд метрикасы. Сондай-ақ, кернеу тензоры нөлдік емес болатын вакуумдық емес шешімдер де бар.
Typically there is an initial guess for the tensor. The guess is used to calculate Christoffel symbols, which are used to calculate the curvature. If the Einstein field equation is not satisfied, the process is repeated. Solutions occur in two forms, vacuum solutions and non vacuum solutions. A vacuum solution is one in which the stress–energy tensor is zero. The relevant vacuum solution for circular orbits is the Schwarzschild metric. There are also a number of exact solutions that are non vacuum solutions, solutions in which the stress tensor is non zero.
Геодезиялық теңдеуді шешу
Геодезиялық теңдеулерді шешу үшін Эйнштейн өріс теңдеуін шешу арқылы алынған метрикалық тензорды білу қажет. Кристофель символдары немесе қисықтық метрикалық тензордан есептелінеді. Геодезиялық теңдеу содан кейін сәйкес шекаралық шарттармен интегралданады.