Кіріспе
Модель теориясындағы ұғым. Модель теориясында және математиканың осыған байланысты салаларында тип – математикалық құрылымдағы (нақты немесе мүмкін) элементтің немесе элементтердің шекті жиынтығының қалай мінез-құлық танытуын сипаттайтын объект. Нақтырақ айтқанда, бұл L тіліндегі x1, x2, ..., xn еркін айнымалылары бар бірінші реттік формулалардың жиынтығы, олар L құрылымының n-топтамасына қатысты дұрыс. Контекстке байланысты типтер толық немесе ішінара болуы мүмкін және олар құрылымнан алынған A тұрақтыларының белгілі бір жиынтығын пайдалануы мүмкін. Қай типтердің нақты элементтерді білдіретіні туралы сұрақ қаныққан модельдер және типтерді жою идеяларына әкеледі.
In model theory and related areas of mathematics, a type is an object that describes how a (real or possible) element or finite collection of elements in a mathematical structure might behave. More precisely, it is a set of first order formulas in a language L with free variables x1, x2, , xn that are true of a set of n tuples of an L structure Depending on the context, types can be complete or partial and they may use a fixed set of constants, A, from the structure The question of which types represent actual elements of leads to the ideas of saturated models and omitting types.
Ресми анықтама
L тілі үшін құрылымды қарастырайық. M құрылымның әлемi болсын. Кез келген A ⊆ M үшін, L(A) тілі L-ден әр a ∈ A үшін тұрақты ca-ны қосу арқылы алынсын. Басқаша айтқанда,
A үстіндегі 1-тип (of) – бұл L(A) тіліндегі формулалардың p(x) жиыны, онда ең көп дегенде бір еркін айнымалы x болады (сондықтан 1-тип), және кез келген шекті ішкі жиын p₀(x) ⊆ p(x) үшін, p₀(x)-қа тәуелді b ∈ M элементі бар, мұнда (яғни, x b-мен ауыстырылғанда p₀(x) жиынындағы барлық формулалар дұрыс). Сол сияқты, A үстіндегі n-тип (of) – бұл L(A) тіліндегі формулалардың p(x₁, …, xₙ) = p(x) жиыны, әрқайсысының еркін айнымалылары тек берілген n еркін айнымалылардың арасында ғана болады x₁, …, xₙ, және кез келген шекті ішкі жиын p₀(x) ⊆ p(x) үшін b₁, …, bₙ ∈ M элементтері бар, мұнда . A үстіндегі толық тип – бұл кіріктірілу бойынша максимал тип. Балама түрінде, кез келген үшін немесе . Толық емес тип жартылай тип деп аталады. Сондықтан, «тип» сөзі жалпы алғанда кез келген n-типті, ішінара немесе толық, кез келген таңдалған параметрлер жиынында (мүмкін, бос жиында) білдіреді. Егер b ∈ Mₙ элементі бар болса, онда n-типті p(x) іске асырылған дейміз. Мұндай іске асырудың болуы компакттылық теоремасымен қамтамасыз етілген, бірақ іске асыру өзінде емес, элементтік кеңейтуінде орын алуы мүмкін. Егер толық типті b жүзеге асырса, онда тип әдетте b үстіндегі A толық типі ретінде белгіленеді және аталады. Тип p(x) , егер барлық үшін болса, оқшауланған деп айтылады. Типтің шекті ішкі жиыны әрқашан іске асырылғандықтан, φ(b) дұрыс болатындай b ∈ Mₙ элементі әрқашан бар; яғни, b бүкіл оқшауланған типті іске асырады. Сондықтан оқшауланған типтер әрбір элементтік субструктурада немесе кеңейтуде іске асырылады. Осы себепті, оқшауланған типтерді ешқашан жоюға болмайды (төменде қараңыз). Типтердің максималды мүмкін әртүрлілігін іске асыратын модель қаныққан модель деп аталады, ал ультракөлік құрылымы қаныққан модельдерді жасаудың бір жолын ұсынады.
A complete type of over A is one that is maximal with respect to inclusion. Equivalently, for every either or Any non complete type is called a partial type. So, the word type in general refers to any n type, partial or complete, over any chosen set of parameters (possibly the empty set). An n type p(x) is said to be realized in if there is an element b ∈ Mn such that The existence of such a realization is guaranteed for any type by the compactness theorem, although the realization might take place in some elementary extension of , rather than in itself. If a complete type is realized by b in , then the type is typically denoted and referred to as the complete type of b over A. A type p(x) is said to be isolated by , for , if for all we have Since finite subsets of a type are always realized in , there is always an element b ∈ Mn such that φ(b) is true in ; i. e. , thus b realizes the entire isolated type. So isolated types will be realized in every elementary substructure or extension. Because of this, isolated types can never be omitted (see below). A model that realizes the maximum possible variety of types is called a saturated model, and the ultrapower construction provides one way of producing saturated models.
Тас кеңістіктер
A-дағы толық n типтерінің жиынтығын топологиялық кеңістік ретінде қарастыру пайдалы. А параметрлері бар x1, …, xn еркін айнымалылардағы формулалар бойынша келесі эквиваленттік қатынасты қарастырайық: Олар дәл бірдей толық типтерге кірсе және тек сонда ғана осыны көрсетуге болады. Бұл эквиваленттік қатынасқа дейінгі x1, …, xn үстіне А еркін айнымалылардағы формулалар жиыны Буль алгебрасы болып табылады (және Mn-нің анықталатын ішкі жиындарының жиынтығына каноникалық изоморфты). Толық n типтері осы Буль алгебрасының ультрафильтрлеріне сәйкес келеді. Толық n типтері жиынтығын белгілі бір формуланы қамтитын типтер жиынтығын ашық жиындардың негізі ретінде қабылдау арқылы топологиялық кеңістікке айналдыруға болады. Бұл Буль алгебрасына байланысты Стоун кеңістігін құрастырады, ол компактты, Хаусдорфтық және толығымен үзіліссіз кеңістік. Мысал. 0 сипаттамасының алгебралық жабық өрістерінің толық теориясында кванторларды жою бар, бұл мүмкін толық 1 типтерінің (бос жиын бойынша) мыналарға сәйкес екенін көрсетуге мүмкіндік береді: Рационалдар бойынша 1 жетекші коэффициенті бар берілген азайтылмайтын тұрақты емес полиномиалдың түбірлері. Мысалы, 2-нің квадрат түбірінің типі. Бұл типтердің әрқайсысы Стоун кеңістігінің оқшауланған нүктесі. Кез келген нөлдік емес полиномиалдың түбірі емес трансценденттік элементтер. Бұл тип – Стоун кеңістігіндегі жабық, бірақ оқшауланбаған нүкте. Басқаша айтқанда, 1 типтер рационалдар Q-дағы Q[x] полиномиалдық сақинасының жай идеалдарына дәл сәйкес келеді: егер r p типіндегі модельдің элементі болса, онда p-ге сәйкес келетін идеал r түбірлі полиномиалдардың жиынтығы болады (r трансценденттік болса, ол тек нөлдік полиномиал). Жалпы алғанда, толық n типтері Q[x1, …, xn] полиномиалдық сақинасының жай идеалдарына сәйкес келеді, яғни осы сақинаның жай спектрінің нүктелеріне сәйкес келеді. (Стоун кеңістігі топологиясын шын мәнінде Буль алгебрасынан табиғи жолмен туындаған Буль сақинасының Зариски топологиясы ретінде қарастыруға болады. Зариски топологиясы жалпы жағдайда Хаусдорфтық емес, бірақ Буль сақиналарының жағдайында Хаусдорфтық болады.) Мысалы, егер q(x,y) екі айнымалыдағы азайтылмайтын полиномиал болса, онда q(x,y) = 0 шартын қанағаттандыратын (бейресми) (x,y) жұптарын іске асыратын 2 тип бар.
One can show that if and only if they are contained in exactly the same complete types. The set of formulas in free variables x1, ,xn over A up to this equivalence relation is a Boolean algebra (and is canonically isomorphic to the set of A definable subsets of Mn). The complete n types correspond to ultrafilters of this Boolean algebra. The set of complete n types can be made into a topological space by taking the sets of types containing a given formula as a basis of open sets. This constructs the Stone space associated to the Boolean algebra, which is a compact, Hausdorff, and totally disconnected space. Example. The complete theory of algebraically closed fields of characteristic 0 has quantifier elimination, which allows one to show that the possible complete 1 types (over the empty set) correspond to:
Roots of a given irreducible non constant polynomial over the rationals with leading coefficient 1. For example, the type of square roots of 2. Each of these types is an isolated point of the Stone space. Transcendental elements, which are not roots of any non zero polynomial. This type is a point in the Stone space that is closed but not isolated. In other words, the 1 types correspond exactly to the prime ideals of the polynomial ring Q[x] over the rationals Q: if r is an element of the model of type p, then the ideal corresponding to p is the set of polynomials with r as a root (which is only the zero polynomial if r is transcendental). More generally, the complete n types correspond to the prime ideals of the polynomial ring Q[x1, ,xn], in other words to the points of the prime spectrum of this ring. (The Stone space topology can in fact be viewed as the Zariski topology of a Boolean ring induced in a natural way from the Boolean algebra. While the Zariski topology is not in general Hausdorff, it is in the case of Boolean rings.) For example, if q(x,y) is an irreducible polynomial in two variables, there is a 2 type whose realizations are (informally) pairs (x,y) of elements with q(x,y)=0.
Түрлерді тастау теоремасы
Егер толық n-түрлі p болса, теорияның p-ні жоққа шығаратын моделі бар ма деп сұрауға болады, яғни модельде p-ні іске асыратын n-топтама жоқ. Егер p – Stone кеңістігіндегі оқшауланған нүкте болса, яғни {p} ашық жиын болса, теория толық болса кем дегенде, әрбір модельдің p-ні іске асыратындығын көру оңай. Омитациялық типтер теоремасы, p оқшауланбаса, онда тіл саналатын болса, p-ні жоққа шығаратын саналатын модель бар дейді. Мысал: 0 сипаттамасының алгебралық жабық өрістерінің теориясында, Q негізгі өрісіне қатысты трансцендентті элементтермен көрсетілген 1-түрлі бар. Бұл Stone кеңістігінің оқшауланбаған нүктесі (іс жүзінде, жалғыз оқшауланбаған нүкте). Алгебралық сандар өрісі осы түрді жоққа шығаратын модель болып табылады, ал рационалдардың кез келген трансценденттік кеңейтуінің алгебралық жабылуы осы түрді іске асыратын модель болып табылады. Қалған барлық типтер – «алгебралық сандар» (дәлірек айтқанда, олар белгілі бір алгебралық санмен қанағаттандырылатын бірінші реттік тұжырымдар жиыны), және мұндай типтердің барлығы 0 сипаттамасының барлық алгебралық жабық өрістерінде іске асырылады.
If p is an isolated point in the Stone space, i. e. if {p} is an open set, it is easy to see that every model realizes p (at least if the theory is complete). The omitting types theorem says that conversely if p is not isolated then there is a countable model omitting p (provided that the language is countable). Example: In the theory of algebraically closed fields of characteristic 0, there is a 1 type represented by elements that are transcendental over the prime field Q. This is a non isolated point of the Stone space (in fact, the only non isolated point). The field of algebraic numbers is a model omitting this type, and the algebraic closure of any
transcendental extension of the rationals is a model realizing this type. All the other types are "algebraic numbers" (more precisely, they are the sets of first order statements satisfied by some given algebraic number), and all such types are realized in all algebraically closed fields of characteristic 0.