Пифагорлық интервалдар

Кіріспе

Музыкалық интервал

Музыкалық күйлеу теориясында пифагорлық интервал – жиілік қатынасы екінің дәрежесіне бөлінген үштің дәрежесіне тең немесе керісінше жиілік қатынасы бар музыкалық интервал. Мысалы, 3/2 қатынасы бар таза бесінші (31/21-ге тең) және 4/3 қатынасы бар таза төртінші (22/31-ге тең) пифагорлық интервалдар болып табылады. Егер олар пифагорлық күйлеу жүйесін қолданып күйленсе, ноталар арасындағы барлық интервалдар пифагорлық болады. Дегенмен, кейбір пифагорлық интервалдар басқа күйлеу жүйелерінде де қолданылады. Мысалы, жоғарыда аталған пифагорлық таза бесінші және төртінші табиғи интонацияда да қолданылады.

Интервалдық кесте

Атауы Қысқаша Басқа атаулары КаRatio Факторлар Туындысы Центтер ETCents MIDI файлы Кішкентай секунд d2 524288/531441 219/312 23.460 0 12 (нақты) унисон P1 1/1 30/20 1/1 0.000 0 0 Пифагорлық кома 531441/524288 312/219 23.460 0 12 Кішкентай секунд m2 лимма, диатоникалық жартытон, кішкентай жартытон 256/243 28/35 90.225 100 5 Үлкейтілген унисон A1 апотома, хроматикалық жартытон, үлкен жартытон 2187/2048 37/211 113.685 100 7 Кішкентай үшінші d3 тон, бүтін тон, бүтін қадам 65536/59049 216/310 180.450 200 10 Үлкен екінші M2 9/8 32/23 3·3/2·2 203.910 200 2 Жартытон m3 (Пифагорлық кішкентай үшінші) 32/27 25/33 294.135 300 3 Үлкейтілген екінші A2 19683/16384 39/214 317.595 300 9 Кішкентай төртінші d4 8192/6561 213/38 384.360 400 8 Дитона M3 (Пифагорлық үлкен үшінші) 81/64 34/26 27·3/32·2 407.820 400 4 Нақты төртінші P4 диатессарон, сескитерциум 4/3 22/3 2·2/3 498.045 500 1 Үлкейтілген үшінші A3 177147/131072 311/217 521.505 500 11 Кішкентай бесінші d5 тритон 1024/729 210/36 588.270 600 6 Үлкейтілген төртінші A4 729/512 36/29 611.730 600 6 Кішкентай алтыншы d6 262144/177147 218/311 678.495 700 11 Нақты бесінші P5 диапенте, сескиальтерум 3/2 31/21 3/2 701.955 700 1 Кішкентай алтыншы m6 128/81 27/34 792.180 800 4 Үлкейтілген бесінші A5 6561/4096 38/212 815.640 800 8 Кішкентай жетінші d7 32768/19683 215/39 882.405 900 9 Үлкен алтыншы M6 27/16 33/24 9·3/8·2 905.865 900 3 Кішкентай жетінші m7 16/9 24/32 996.090 1000 2 Үлкейтілген алтыншы A6 59049/32768 310/215 1019.550 1000 10 Кішкентай октава d8 4096/2187 212/37 1086.315 1100 7 Үлкен жетінші M7 243/128 35/27 81·3/64·2 1109.775 1100 5 Кішкентай тоғызыншы d9 (октава − кома) 1048576/531441 220/312 1176.540 1200 12 (нақты) октава P8 диапазон 2/1 2/1 1200.000 1200 0 Үлкейтілген жетінші A7 (октава + кома) 531441/262144 312/218 1223.460 1200 12

Name Short Other name(s) Ratio Factors Derivation Cents ETCents MIDI file Fifths diminished second d2 524288/531441 219/312 23.460 0 12 (perfect) unison P1 1/1 30/20 1/1 0.000 0 0 Pythagorean comma 531441/524288 312/219 23.460 0 12 minor second m2 limma,diatonic semitone,minor semitone 256/243 28/35 90.225 100 5 augmented unison A1 apotome,chromatic semitone,major semitone 2187/2048 37/211 113.685 100 7 diminished third d3 tone,whole tone,whole step 65536/59049 216/310 180.450 200 10 major second M2 9/8 32/23 3·3/2·2 203.910 200 2 semiditone m3 (Pythagorean minor third) 32/27 25/33 294.135 300 3 augmented second A2 19683/16384 39/214 317.595 300 9 diminished fourth d4 8192/6561 213/38 384.360 400 8 ditone M3 (Pythagorean major third) 81/64 34/26 27·3/32·2 407.820 400 4 perfect fourth P4 diatessaron,sesquitertium 4/3 22/3 2·2/3 498.045 500 1 augmented third A3 177147/131072 311/217 521.505 500 11 diminished fifth d5 tritone 1024/729 210/36 588.270 600 6 augmented fourth A4 729/512 36/29 611.730 600 6 diminished sixth d6 262144/177147 218/311 678.495 700 11 perfect fifth P5 diapente,sesquialterum 3/2 31/21 3/2 701.955 700 1 minor sixth m6 128/81 27/34 792.180 800 4 augmented fifth A5 6561/4096 38/212 815.640 800 8 diminished seventh d7 32768/19683 215/39 882.405 900 9 major sixth M6 27/16 33/24 9·3/8·2 905.865 900 3 minor seventh m7 16/9 24/32 996.090 1000 2 augmented sixth A6 59049/32768 310/215 1019.550 1000 10 diminished octave d8 4096/2187 212/37 1086.315 1100 7 major seventh M7 243/128 35/27 81·3/64·2 1109.775 1100 5 diminished ninth d9 (octave − comma) 1048576/531441 220/312 1176.540 1200 12 (perfect) octave P8 diapason 2/1 2/1 1200.000 1200 0 augmented seventh A7 (octave + comma) 531441/262144 312/218 1223.460 1200 12

Notice that the terms ditone and semiditone are specific for Pythagorean tuning, while tone and tritone are used generically for all tuning systems. Despite its name, a semiditone (3 semitones, or about 300 cents) can hardly be viewed as half of a ditone (4 semitones, or about 400 cents).

12 тондық Пифагор шкаласы

Кестеде жоғарыда тізілген аралықтардың кейбіреуін D негізіндегі симметриялық пифагорлық настройкамен (мысалы, фортепиано сияқты) қайталанатын октавалық 12 тонды шкалада ойнауға болатын ноталар көрсетілген. Осы кесте туралы толық ақпаратты «Пифагорлық аралықтарының мөлшері» бетінен табуға болады.

Негізгі аралықтар

Негізгі интервалдар – 2/1, 3/2 және 4/3 супербөлшектік қатынастар. 2/1 – октава немесе диапазон (грек тілінде «барлығы арқылы»). 3/2 – таза бесінші, диапенте («бесік арқылы»), немесе сесквиальтерум. 4/3 – таза төртінші, диатессарон («төрт арқылы»), немесе сесквитерциум. Бұл үш интервал және олардың октавалық эквиваленттері, мысалы, таза он бірінші және он екінші, пифагорлық жүйенің жалғыз абсолютті консонанттары болып табылады. Барлық басқа интервалдар әртүрлі деңгейде диссонансқа ие, тегіс емес, керісінше, қатаң. Таза төртінші мен таза бесінші арасындағы айырмашылық – тон немесе үлкен секунда. Бұл 9/8 қатынасына ие, сондай-ақ эпогдоон деп аталады, және бұл пифагорлық настройканың жалғыз супербөлшектік қатынасы, Стормер теоремасымен көрсетілгендей. Екі тон дитонды құрайды, бұл диссонантты кең үлкен треті, қатынасы 81/64. Дитон таза үлкен третінен (5/4) синтоникалық коммен (81/80) ерекшеленеді. Сол сияқты, тон мен таза төртінші арасындағы айырмашылық – жартылық тон, тар кіші треті, 32/27, ол 6/5-тен синтоникалық коммен ерекшеленеді. Бұл айырмашылықтар «тегістеледі» немесе ымыраға келу арқылы жойылады. Кіші треті мен тон арасындағы айырмашылық – 256/243 кіші жартылық тон немесе лимма. Тон мен лимма арасындағы айырмашылық – 2187/2048 үлкен жартылық тон немесе апотом («кесілген бөлік»). Лимма мен апотом екеуі де 12 биіктіктегі тең темпераментте бір қадаммен бейнеленсе де, олар пифагорлық настройкада тең емес, олардың айырмашылығы, 531441/524288, пифагорлық комма деп аталады.

Қазіргі номенклатурамен айырмашылығы

Интервал атаулары (диатоникалық сатылар саны + интервал сапасы) мен жиілік қатынастары арасында бір-бірге сәйкестік бар. Бұл тең темпераменттен өзгеше, онда бірдей жиілік қатынасына ие интервалдар әртүрлі атауларға ие болуы мүмкін (мысалы, кішірейтілген квинта және үлкейтілген кварта); сондай-ақ, әділ интонацияның басқа түрлерінен де өзгеше, онда бірдей атауға ие интервалдар әртүрлі жиілік қатынастарына ие болуы мүмкін (мысалы, C-ден D-ге дейінгі мажор секунды үшін 9/8, ал D-ден E-ге дейінгі мажор секунды үшін 10/9).