Введение

Музыкальный интервал

В теории музыкальной настройки пифагорейский интервал — это музыкальный интервал, частотное соотношение которого равно степени числа два, делённой на степень числа три, или наоборот. Например, чистая квинта с соотношением 3/2 (эквивалентно 31/21) и чистая кварта с соотношением 4/3 (эквивалентно 22/31) являются пифагорейскими интервалами. Все интервалы между нотами гаммы являются пифагорейскими, если они настроены с использованием пифагорейского строя. Однако некоторые пифагорейские интервалы также используются и в других системах настройки. Например, вышеупомянутые пифагорейские квинта и кварта также используются в чистой интонации.

Интервальная таблица

Название Сокращение Другие названия Отношение Факторы Происхождение Центов ETCents MIDI файл Уменьшенная вторая квинты d2 524288/531441 219/312 23.460 0 12 (совершенная) унисон P1 1/1 30/20 1/1 0.000 0 0 Пифагорова запятая 531441/524288 312/219 23.460 0 12 Малая секунда m2 лимма, диатонический полутон, малый полутон 256/243 28/35 90.225 100 5 Увеличенная унисон A1 апотома, хроматический полутон, большой полутон 2187/2048 37/211 113.685 100 7 Уменьшенная терция d3 тон, целый тон, целый шаг 65536/59049 216/310 180.450 200 10 Большая секунда M2 9/8 32/23 3·3/2·2 203.910 200 2 Полутон m3 (Пифагорова малая терция) 32/27 25/33 294.135 300 3 Увеличенная секунда A2 19683/16384 39/214 317.595 300 9 Уменьшенная кварта d4 8192/6561 213/38 384.360 400 8 Дитонус M3 (Пифагорова большая терция) 81/64 34/26 27·3/32·2 407.820 400 4 Совершенная кварта P4 диатессарон, сескитерция 4/3 22/3 2·2/3 498.045 500 1 Увеличенная терция A3 177147/131072 311/217 521.505 500 11 Уменьшенная квинта d5 тритон 1024/729 210/36 588.270 600 6 Увеличенная кварта A4 729/512 36/29 611.730 600 6 Уменьшенная секста d6 262144/177147 218/311 678.495 700 11 Совершенная квинта P5 диапента, сескиальтера 3/2 31/21 3/2 701.955 700 1 Малая секста m6 128/81 27/34 792.180 800 4 Увеличенная квинта A5 6561/4096 38/212 815.640 800 8 Уменьшенная септима d7 32768/19683 215/39 882.405 900 9 Большая секста M6 27/16 33/24 9·3/8·2 905.865 900 3 Малая септима m7 16/9 24/32 996.090 1000 2 Увеличенная секста A6 59049/32768 310/215 1019.550 1000 10 Уменьшенная октава d8 4096/2187 212/37 1086.315 1100 7 Большая септима M7 243/128 35/27 81·3/64·2 1109.775 1100 5 Уменьшенная нона d9 (октава − запятая) 1048576/531441 220/312 1176.540 1200 12 (совершенная) октава P8 диапазон 2/1 2/1 1200.000 1200 0 Увеличенная септима A7 (октава + запятая) 531441/262144 312/218 1223.460 1200 12

12-тонная пифагорейская шкала

В таблице указано, из каких нот можно извлечь некоторые из вышеперечисленных интервалов на инструменте с повторяющейся 12-тоновой октавной гаммой (например, на фортепиано), настроенном в симметричной пифагорейской системе, основанной на D. Более подробная информация об этой таблице приведена в разделе «Размер пифагорейских интервалов».

Основные интервалы

Основными интервалами являются суперчастичные отношения 2/1, 3/2 и 4/3. 2/1 – это октава или диапазон (от греческого "по всему"). 3/2 – это идеальная квинта, диапента ("по пятерке") или сесквиальтерум. 4/3 – это идеальная кварта, диатессарон ("по четверке") или сесквитерций. Эти три интервала и их октавные эквиваленты, такие как совершенная одиннадцатая и двенадцатая, являются единственными абсолютными консонансами пифагорейской системы. Все остальные интервалы имеют различную степень диссонанса, от мягкого до резкого. Разница между идеальной квартой и идеальной квинтой – это тон или большая секунда. Он имеет отношение 9/8, также известное как эпогдоон, и является единственным другим суперчастичным отношением в пифагорейском строе, как показано теоремой Штёрмера. Два тона составляют дитон – диссонирующую широкую большую терцию, отношение 81/64. Дитон отличается от чистой большой терции (5/4) синтонической запятой (81/80). Аналогично, разница между тоном и идеальной квартой – это полутон, узкая малая терция, 32/27, которая отличается от 6/5 синтонической запятой. Эти различия "сглаживаются" или устраняются за счет компромиссов в среднетоновой темперации. Разница между малой терцией и тоном – это малый полутон или лимма, 256/243. Разница между тоном и лиммой – это большой полутон или апотома ("отсечённая часть"), 2187/2048. Хотя лимма и апотома обозначаются одним шагом в двенадцатитоновой равной темперации, они не равны в пифагорейском строе, и их разница, 531441/524288, известна как пифагорейская запятая.

Контраст с современной номенклатурой

Существует однозначное соответствие между названиями интервалов (количество ступеней лада + качество) и частотными отношениями. Это отличается от равной темперации, где интервалы с одинаковым частотным отношением могут иметь разные названия (например, уменьшенная квинта и увеличенная кварта); и от других видов справедливой интонации, где интервалы с одинаковым названием могут иметь разные частотные отношения (например, 9/8 для большой секунды от до до ре, но 10/9 для большой секунды от ре до ми).