Релативтік контактты гомология және түйіндер инварианттары
Relative contact homology
Симплекттік топологиядағы салыстырмалы контактты гомология – кеңістіктер мен ішкі кеңістіктер инварианты. Легендран тораптарын зерттейді, классикалық инварианттардан күшті.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, симплектикалық топология саласында, салыстырмалы контактілік гомология – таңдалған ішкі кеңістікпен бірге кеңістіктердің инварианты болып табылады. Атап айтқанда, ол контактілік манифольд пен оның Легендриялық ішкі манифольдінің бірімен байланысты. Бұл симплектикалық өріс теориясы деп аталатын көбірек жалпы инварианттың бір бөлігі болып табылады және псевдоголоморфтық қисықтарды қолдану арқылы анықталады.
In mathematics, in the area of symplectic topology, relative contact homology is an invariant of spaces together with a chosen subspace. Namely, it is associated to a contact manifold and one of its Legendrian submanifolds. It is a part of a more general invariant known as symplectic field theory, and is defined using pseudoholomorphic curves.
Легендарлық түйіндер
Ең қарапайым жағдайда контактты үш коллекторлар ішіндегі Легендрия түйіндерінің инварианттары туындайды. Қатынасты контактты гомология, "классикалық инварианттардан", атап айтқанда, Тёрстон Беннекин саны мен айналу санынан (тегіс түйіндер класы шегінде) әлдеқайда қуатты инвариант екені дәлелденді. Юрий Чеканов Легендрия түйіндері үшін қатынасты контактты гомологияның толығымен комбинаторлық нұсқасын, яғни қатынасты контактты гомологияның нәтижелерін қайталайтын комбинаторлық түрде анықталған инвариантты жасады. Тамас Калман Легендрия түйіндерінің циклдары үшін комбинаторлық инвариантты жасады, оның көмегімен ол тегіс түйіндер кеңістігінің және Легендрия түйіндері кеңістігінің негізгі топтары арасындағы айырмашылықтарды анықтады.
The simplest case yields invariants of Legendrian knots inside contact three manifolds. The relative contact homology has been shown to be a strictly more powerful invariant than the "classical invariants", namely Thurston Bennequin number and rotation number (within a class of smooth knots). Yuri Chekanov developed a purely combinatorial version of relative contact homology for Legendrian knots, i. e. a combinatorially defined invariant that reproduces the results of relative contact homology. Tamas Kalman developed a combinatorial invariant for loops of Legendrian knots, with which he detected differences between the fundamental groups of the space of smooth knots and of the space of Legendrian knots.
Жоғары өлшемді легендарлық субкөптүрліліктер
Ленхард Нг жұмысында салыстырмалы SFT тегіс түйіндердің инварианттарын алу үшін қолданылады: топологиялық үш өлшемді кеңістіктегі түйін немесе сілтеме, контактілік бес өлшемді кеңістікте Легендриан торын тудырады, ол қоршаған үш өлшемді кеңістіктің бірлік котангенттік кеңістігіндегі түйінге қатысты бірлік конормальдық кеңістігінен тұрады. Бұл жұптың салыстырмалы SFT – дифференциалдық градус алгебрасы; Ng гомологияның нөлдік дәрежесінің комбинаторлық нұсқасынан қуатты түйін инвариантын шығарады. Ол бүтін сан коэффициенттері бар көп айнымалы Лорант полиномдарының белгілі бір сақинасы үстінен шекті түрде берілген тензорлық алгебра түрінде болады. Бұл инвариант (кем дегенде) он қиылысы бар түйіндерге ерекше инварианттарды тағайындайды және Александр полиномы мен А полиномынан басым (және осылайша түйінсіздікті ажыратады).
In the work of Lenhard Ng, relative SFT is used to obtain invariants of smooth knots: a knot or link inside a topological three manifold gives rise to a Legendrian torus inside a contact five manifold, consisisting of the unit conormal bundle to the knot inside the unit cotangent bundle of the ambient three manifold. The relative SFT of this pair is a differential graded algebra; Ng derives a powerful knot invariant from a combinatorial version of the zero th degree part of the homology. It has the form of a finitely presented tensor algebra over a certain ring of multivariable Laurent polynomials with integer coefficients. This invariant assigns distinct invariants to (at least) knots of at most ten crossings, and dominates the Alexander polynomial and the A polynomial (and thus distinguishes the unknot).