Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике, в области симплектической топологии, относительная контактная гомология является инвариантом пространств вместе с выбранным подпространством. В частности, она связана с контактным многообразием и одним из его подмногообразий Лежандра. Она является частью более общего инварианта, известного как симплектическая теория поля, и определяется с использованием псевдоголоморфных кривых.
In mathematics, in the area of symplectic topology, relative contact homology is an invariant of spaces together with a chosen subspace. Namely, it is associated to a contact manifold and one of its Legendrian submanifolds. It is a part of a more general invariant known as symplectic field theory, and is defined using pseudoholomorphic curves.
Легендарные узлы
Самый простой случай даёт инварианты легендрианских узлов в трехмерных контактных многообразиях. Показано, что относительная контактная гомология является строго более мощным инвариантом, чем "классические инварианты", а именно число Тёрстона Беннекина и число вращения (для класса гладких узлов). Юрий Чеканов разработал чисто комбинаторную версию относительной контактной гомологии для легендрианских узлов, то есть инвариант, заданный комбинаторно и воспроизводящий результаты относительной контактной гомологии. Тамаш Калман разработал комбинаторный инвариант для петель легендрианских узлов, с помощью которого он выявил различия между фундаментальными группами пространства гладких узлов и пространства легендрианских узлов.
The simplest case yields invariants of Legendrian knots inside contact three manifolds. The relative contact homology has been shown to be a strictly more powerful invariant than the "classical invariants", namely Thurston Bennequin number and rotation number (within a class of smooth knots). Yuri Chekanov developed a purely combinatorial version of relative contact homology for Legendrian knots, i. e. a combinatorially defined invariant that reproduces the results of relative contact homology. Tamas Kalman developed a combinatorial invariant for loops of Legendrian knots, with which he detected differences between the fundamental groups of the space of smooth knots and of the space of Legendrian knots.
Высшее измерение легендарных подмножеств
В работе Ленхарда Нга относительная SFT используется для получения инвариантов гладких узлов: узел или зацепление внутри топологического трёхмерного многообразия порождает легендрианский тор внутри контактного пятимерного многообразия, состоящий из единичного конормального расслоения к узлу внутри единичного котангенциального расслоения окружающего трёхмерного многообразия. Относительная SFT этой пары является дифференциально градуированной алгеброй; Ng выводит мощный инвариант узла из комбинаторной версии нулевой степени гомологии. Он имеет вид конечно представленной тензорной алгебры над определённым кольцом многомерных полиномов Лорана с целочисленными коэффициентами. Этот инвариант присваивает различные инварианты (по крайней мере) узлам с не более чем десятью пересечениями и доминирует над полиномом Александра и полиномом A (и, следовательно, различает тривиальный узел).
In the work of Lenhard Ng, relative SFT is used to obtain invariants of smooth knots: a knot or link inside a topological three manifold gives rise to a Legendrian torus inside a contact five manifold, consisisting of the unit conormal bundle to the knot inside the unit cotangent bundle of the ambient three manifold. The relative SFT of this pair is a differential graded algebra; Ng derives a powerful knot invariant from a combinatorial version of the zero th degree part of the homology. It has the form of a finitely presented tensor algebra over a certain ring of multivariable Laurent polynomials with integer coefficients. This invariant assigns distinct invariants to (at least) knots of at most ten crossings, and dominates the Alexander polynomial and the A polynomial (and thus distinguishes the unknot).