Кіріспе
Модель теориясының тұжырымдамасы
Математикалық логиканың бір саласы – модель теориясында, теорияның спектрі әртүрлі кардиналдықтардағы модельдердің изоморфизм кластарының санымен анықталады. Нақтырақ айтқанда, кез келген толық теория T үшін, тілде, I(T, κ) арқылы T теориясының (изоморфизмге дейін) κ кардиналдығындағы модельдерінің саны жазылады. Спектрлік мәселе – I(T, κ) функциясының κ-ға қатысты мүмкін болатын өрнектерін сипаттау болып табылады. Бұл мәселе санаулы теория T үшін дерлік толығымен шешілді.
In model theory, a branch of mathematical logic, the spectrum of a theory
is given by the number of isomorphism classes of models in various cardinalities. More precisely,
for any complete theory T in a language we write I(T, κ) for the number of models of T (up to isomorphism) of cardinality κ. The spectrum problem is to describe the possible behaviors of I(T, κ) as a function of κ. It has been almost completely solved for the case of a countable theory T.
Алғашқы нәтижелер
Бұл бөлімде T – саналатын толық теория, ал κ – кардинал. Лёвенхайм-Сколем теоремасы I(T,κ) бір шексіз кардинал үшін нөлден өзгеше болса, онда ол барлық шексіз кардиналдар үшін нөлден өзгеше екенін көрсетеді. Морлидің категорикалық теоремасы спектр мәселесін шешудегі алғашқы маңызды қадам болды: егер I(T,κ) кейбір санауға болмайтын κ үшін 1 болса, онда ол барлық санауға болмайтын κ үшін 1 болады. Роберт Воут I(T,ℵ₀) 2-ге тең бола алмайтынын көрсетті. 2-ден басқа кез келген теріс емес бүтін санға тең болатын мысал табу оңай. Морли I(T,ℵ₀) шексіз болса, онда ол ℵ₀ немесе ℵ₁ немесе 2ℵ₀ болуы керек екенін дәлелдеді. Континуум гипотезасы жалған болса, ол ℵ₁-ге тең болатыны белгісіз: бұл Вотт болжамы деп аталады және спектр теориясындағы 2005 жылғы негізгі ашық мәселе болып табылады. Морлидің мәселесі – Майкл Д. Морли алғаш ұсынған (қазір теорема) болжам, яғни I(T,κ) санауға болмайтын κ үшін κ-ға қатысты кемімейді. Мұны Сахарон Шелах дәлелдеді. Ол үшін ол өте терең дихотомиялық теореманы дәлелдеді. Сахарон Шелах спектр мәселесіне жартылай толық шешім берді. Берілген толық теория T үшін, I(T,κ) барлық санауға болмайтын кардиналдар κ үшін 2κ-ға тең болады, немесе барлық ординалдар ξ үшін (Алеф саны мен Бет санының белгіленуі туралы түсініктеме үшін қараңыз), ол әдетте бірінші жағдайдағы шектен әлдеқайда кіші болады. Бұл шамамен айтқанда, барлық санауға болмайтын кардиналдарда ең көп модельдер бар немесе барлық санауға болмайтын кардиналдарда «аз» модельдер бар дегенді білдіреді. Шелах сондай-ақ модельдердің саны аз болған жағдайдағы мүмкін спектрлерді сипаттады.
Robert Vaught showed that I(T,ℵ0) cannot be 2. It is easy to find examples where it is any given non negative integer other than 2. Morley proved that if I(T,ℵ0) is infinite then it must be ℵ0 or ℵ1 or 2ℵ0. It is not known if it can be ℵ1 if the continuum hypothesis is false: this is called the Vaught conjecture and is the main remaining open problem (in 2005) in the theory of the spectrum. Morley's problem was a conjecture (now a theorem) first proposed by Michael D. Morley that I(T,κ) is nondecreasing in κ for uncountable κ. This was proved by Saharon Shelah. For this, he proved a very deep dichotomy theorem. Saharon Shelah gave an almost complete solution to the spectrum problem. For a given complete theory T, either I(T,κ) = 2κ for all uncountable cardinals κ, or for all ordinals ξ (See Aleph number and Beth number for an explanation of the notation), which is usually much smaller than the bound in the first case. Roughly speaking this means that either there are the maximum possible number of models in all uncountable cardinalities, or there are only "few" models in all uncountable cardinalities. Shelah also gave a description of the possible spectra in the case when there are few models.