Введение
Концепция теории моделей. В теории моделей, являющейся разделом математической логики, спектр теории определяется количеством классов изоморфизма моделей различных кардинальностей. Более точно, для любой полной теории T в некотором языке мы обозначаем I(T, κ) число моделей T (с точностью до изоморфизма) кардинальности κ. Задача о спектре состоит в описании возможных вариантов поведения функции I(T, κ) в зависимости от κ. Она почти полностью решена для случая счетной теории T.
In model theory, a branch of mathematical logic, the spectrum of a theory
is given by the number of isomorphism classes of models in various cardinalities. More precisely,
for any complete theory T in a language we write I(T, κ) for the number of models of T (up to isomorphism) of cardinality κ. The spectrum problem is to describe the possible behaviors of I(T, κ) as a function of κ. It has been almost completely solved for the case of a countable theory T.
Первые результаты
В этом разделе T представляет собой счетную полную теорию, а κ — кардинал. Теорема Лёвенхайма — Школема показывает, что если I(T,κ) ненулевая для одного бесконечного кардинала, то она ненулевая для всех. Теорема категоричности Морли была первым основным шагом в решении проблемы спектра: она утверждает, что если I(T,κ) равна 1 для некоторого несчетного κ, то она равна 1 для всех несчетных κ.
Роберт Воут показал, что I(T,ℵ₀) не может быть равна 2. Легко найти примеры, где она равна любому заданному неотрицательному целому числу, отличному от 2. Морли доказал, что если I(T,ℵ₀) бесконечна, то она должна быть равна ℵ₀ или ℵ₁ или 2ℵ₀. Неизвестно, может ли она быть равна ℵ₁, если гипотеза континуума ложна: это называется гипотезой Вотта и является основной нерешенной проблемой (в 2005 году) в теории спектра. Проблема Морли была предположением (ныне теоремой), впервые предложенным Майклом Д. Морли, что I(T,κ) не убывает по κ для несчетных κ. Это было доказано Сахароном Шела. Для этого он доказал очень глубокую теорему дихотомии. Сахарон Шелах дал почти полное решение проблемы спектра. Для данной полной теории T либо I(T,κ) = 2κ для всех несчетных кардиналов κ, либо для всех ординалов ξ (см. Число алеф и число бет для объяснения обозначений), которое обычно намного меньше, чем граница в первом случае. Грубо говоря, это означает, что либо существует максимально возможное количество моделей во всех несчетных кардинальностях, либо существует только «немного» моделей во всех несчетных кардинальностях. Шелах также дал описание возможных спектров в случае, когда моделей немного.