Кіріспе
формальды тіл теориясындағы ұғым. Математикада формальды туынды — полиномдық сақинаның немесе формальды қуат қатарларының элементтеріне қолданылатын, есептеудегі туындының түрін имитациялайтын амал. Олар ұқсас болғанымен, формальды туындының алгебралық артықшылығы — ол шек түсінігіне сүйенбейді, оны сақина үшін анықтау көбінесе мүмкін емес. Туындының көптеген қасиеттері формальды туындыға да тән, бірақ кейбіреулері, әсіресе сандық мәлімдемелер жасайтындары, орындалмайды. Формальды дифференциация алгебрада полиномның көптік түбірлерін анықтау үшін қолданылады.
In mathematics, the formal derivative is an operation on elements of a polynomial ring or a ring of formal power series that mimics the form of the derivative from calculus. Though they appear similar, the algebraic advantage of a formal derivative is that it does not rely on the notion of a limit, which is in general impossible to define for a ring. Many of the properties of the derivative are true of the formal derivative, but some, especially those that make numerical statements, are not. Formal differentiation is used in algebra to test for multiple roots of a polynomial.
Қайталану факторларын табуға қолдану
Калькульдегідей, туынды бірнеше түбірлерді анықтайды. Егер R өріс болса, онда R[x] — Евклид домені, және осы жағдайда түбірлердің көбейтінділігін анықтауға болады; R[x] полиномының кез келген f(x) және R-дің кез келген элементі r үшін, жағымсыз емес бүтін сан mr және g(x) полиномы бар, мұнда g(r) ≠ 0. mr — f полиномының түбірі ретінде r-дің көбейтінділігі. Лейбниц ережесінен мынаны байқауға болады: осы жағдайда mr — f(x) полиномы бойынша орындалуы тиіс дифференциациялаулардың саны, содан кейін r нәтижедегі полиномның түбірі болмайды. Бұл байқаудың пайдалылығы, R[x] полиномының n дәрежелі кез келген полиномының көбейтінділігін есепке алғанда n түбірінің болмауы мүмкін (бұл жоғарыдағы теорема бойынша максималды мән), бірақ біз осыған сәйкес келетін өріс кеңейтулеріне (әсіресе алгебралық жабылуларға) өтуге болады. Егер біз осыны істесек, R-де түбір болмаған бірнеше түбірді анықтай аламыз. Мысалы, егер R үш элементі бар шекті өріс болса, онда полиномның R-де түбірлері болмайды; алайда, оның формальды туындысы нөлге тең, себебі R-де 3 = 0 және R-дің кез келген кеңейтуінде, сондықтан алгебралық жабылуға өткеде оның R-дегі өзінің факторлау арқылы анықталмаған бірнеше түбірі бар. Осылайша, формальды дифференциация көбейтінділік туралы тиімді түсінік береді. Бұл Галуа теориясында маңызды, онда ажыратылатын өріс кеңейтулері (көп түбірлері жоқ полиномдармен анықталған) және ажыратылмаған өрістер арасында айырмашылық жасалады.
where g(r)≠0. mr is the multiplicity of r as a root of f. It follows from the Leibniz rule that in this situation, mr is also the number of differentiations that must be performed on f(x) before r is no longer a root of the resulting polynomial. The utility of this observation is that although in general not every polynomial of degree n in R[x] has n roots counting multiplicity (this is the maximum, by the above theorem), we may pass to field extensions in which this is true (namely, algebraic closures). Once we do, we may uncover a multiple root that was not a root at all simply over R. For example, if R is the finite field with three elements, the polynomial
has no roots in R; however, its formal derivative is zero since 3 = 0 in R and in any extension of R, so when we pass to the algebraic closure it has a multiple root that could not have been detected by factorization in R itself. Thus, formal differentiation allows an effective notion of multiplicity. This is important in Galois theory, where the distinction is made between separable field extensions (defined by polynomials with no multiple roots) and inseparable ones.
Аналитикалық туындыға сәйкестік
Скалярлардың R сақинасы коммутативті болған кезде формальды туындының баламалы және эквивалентті анықтамасы бар, ол дифференциалдық есептеуде көрінетінге ұқсас. R[X,Y] сақинасының Y–X элементі кез келген теріс емес бүтін n үшін Yn – Xn-ді бөледі, сондықтан кез келген полиномиалды f үшін f(Y) – f(X)-ті бөледі. Егер R[X,Y] -дегі бөлінді g деп белгіленсе, онда g(X,X) (R[X]-те) жоғарыда анықталған f формальды туындысымен сәйкес келетінін тексеру қиын емес. Бұл туындының формуласы коэффициенттер сақинасы коммутативті болғанша, формальды қуат қатарлары үшін де жақсы жұмыс істейді. Шын мәнінде, егер осы анықтамадағы бөлу үздіксіз функциялар класында орындалса, ол туындының классикалық анықтамасын қайтаруға болады. Егер оны екі айнымалыдағы үздіксіз функциялар класында орындасақ, біртұтас дифференциалдануға жетеміз, ал функция үздіксіз дифференциалданады. Сол сияқты, функциялардың әр түрлі кластарын таңдау арқылы (мысалы, Липшиц класы), дифференциалданудың әр түрлі түрлерін аламыз. Осылайша дифференциация функциялар алгебрасының бір бөлігіне айналады.
It is then not hard to verify that g(X,X) (in R[X]) coincides with the formal derivative of f as it was defined above. This formulation of the derivative works equally well for a formal power series, as long as the ring of coefficients is commutative. Actually, if the division in this definition is carried out in the class of functions of continuous at , it will recapture the classical definition of the derivative. If it is carried out in the class of functions continuous in both and , we get uniform differentiability, and the function will be continuously differentiable. Likewise, by choosing different classes of functions (say, the Lipschitz class), we get different flavors of differentiability. In this way, differentiation becomes a part of algebra of functions.