Введение

В математике формальная производная — это операция над элементами кольца многочленов или кольца формальных степенных рядов, имитирующая вид производной из математического анализа. Несмотря на внешнее сходство, алгебраическое преимущество формальной производной заключается в том, что она не опирается на понятие предела, которое в общем случае невозможно определить для кольца. Многие свойства производной справедливы и для формальной производной, однако некоторые, особенно содержащие численные утверждения, – нет. Формальное дифференцирование используется в алгебре для определения кратных корней многочлена.

Применение для нахождения повторяющихся факторов

Как и в математическом анализе, производная позволяет обнаружить кратные корни. Если R – поле, то R[x] является евклидовым кольцом, и в этом случае мы можем определить кратность корней: для любого многочлена f(x) из R[x] и любого элемента r из R существует неотрицательное целое число mr и многочлен g(x) такие, что

где g(r) ≠ 0. Число mr является кратностью r как корня f. Из правила Лейбница следует, что в данной ситуации mr также равно количеству дифференцирований, которые необходимо выполнить над f(x), прежде чем r перестанет быть корнем полученного многочлена. Ценность этого наблюдения заключается в том, что хотя в общем случае не каждый многочлен степени n в R[x] имеет n корней с учетом кратности (это максимум, согласно вышеуказанной теореме), мы можем перейти к расширениям поля, в которых это справедливо (а именно, к алгебраическим замыканиям). Как только мы это сделаем, мы можем обнаружить кратный корень, который вообще не являлся корнем в R. Например, если R – конечное поле из трех элементов, многочлен

не имеет корней в R; однако его формальная производная равна нулю, поскольку 3 = 0 в R и в любом расширении R, поэтому при переходе к алгебраическому замыканию он имеет кратный корень, который нельзя было обнаружить факторизацией в самом R. Таким образом, формальное дифференцирование позволяет ввести эффективное понятие кратности. Это важно в теории Галуа, где проводится различие между разделимыми расширениями поля (определяемыми многочленами без кратных корней) и неразделимыми.

Соответствие аналитической производной

Когда кольцо R скаляров коммутативно, существует альтернативное и эквивалентное определение формальной производной, которое напоминает определение из дифференциального исчисления. Элемент Y–X кольца R[X,Y] делит Yⁿ – Xⁿ для любого неотрицательного целого числа n, и, следовательно, делит f(Y) – f(X) для любого многочлена f от одной переменной. Если частное в R[X,Y] обозначено как g, то

Несложно проверить, что g(X,X) (в R[X]) совпадает с формальной производной f, определенной выше. Эта формулировка производной также хорошо работает для формального степенного ряда, при условии, что кольцо коэффициентов коммутативно. Фактически, если деление в этом определении выполняется в классе функций, непрерывных в точке , то получается классическое определение производной. Если же деление выполняется в классе функций, непрерывных в обеих точках и , то мы получаем равномерную дифференцируемость, и функция будет непрерывно дифференцируемой. Аналогично, выбирая различные классы функций (например, класс Липшица), мы получаем различные типы дифференцируемости. Таким образом, дифференцирование становится частью алгебры функций.