Кіріспе

Арновитт-Дезер-Миснер (ADM) формализмі (авторлары Ричард Арновитт, Стэнли Дезер және Чарльз В. Миснердің есімдерімен аталады) – жалпы салыстырмалылық теориясының Гамильтондық тұжырымдамасы, каноникалық кванттық гравитация және сандық салыстырмалылық салаларында маңызды рөл атқарады. Алғаш рет 1959 жылы жарияланды. Авторлардың 1962 жылы жариялаған формализмге толық шолуы "Жалпы салыстырмалылық және гравитация" журналында қайта басылды, ал бастапқы мақалаларын "Физикалық шолу" журналының архивінен табуға болады.

Шолу

Формализм кеңістік-уақытты кеңістіктік беттер отбасына бөліп қарастырады, олар уақыт координатасымен белгіленеді және әр кесіндідегі координаттармен сипатталады. Бұл теорияның динамикалық айнымалылары үш өлшемді кеңістіктік кесінділердің метрикалық тензоры және оларға сәйкес келетін импульстар болып табылады. Осы айнымалыларды қолдану арқылы Гамильтондық функцияны анықтауға және жалпы салыстырмалылық теориясының қозғалыс теңдеулерін Гамильтон теңдеулері түрінде жазуға болады. Он екі айнымалы – және – қатар, Лагранждың төрт көбейткіші бар: лапп функциясы, , және ығысу векторлық өрісінің компоненттері. Олар кеңістік-уақыттың «жапырақтарының» әрқайсысы қалай біріктірілетінін сипаттайды. Бұл айнымалылар үшін қозғалыс теңдеулерін еркін түрде беруге болады; мұндай еркіндік кеңістік және уақыт бойынша координаттар жүйесін қалай орналастыруды анықтау еркіндігімен сәйкес келеді.

Нөмірлік

Көптеген сілтемелерде төрт өлшемді тензорлар абстрактілі индекс жазу арқылы көрсетіледі, онда грек индекстері (0, 1, 2, 3) мәндерін қабылдайтын кеңістік-уақыт индекстері, ал латын индекстері (1, 2, 3) мәндерін қабылдайтын кеңістік индекстері болып табылады. Осы туындыда, әдетте үш өлшемді де, төрт өлшемді де нұсқалары бар шамаларға, мысалы, үш өлшемді қималар үшін метрикалық тензор және толық төрт өлшемді кеңістік-уақыт үшін метрикалық тензорға (4) префиксі қосылады. Мәтінде Эйнштейн жазуы қолданылады, онда қайталанатын индекстер бойынша қосымшалау түсініледі. Екі түрлі туынды қолданылады: Ішінара туындылар оператормен немесе үтірмен белгіленген индекстер арқылы көрсетіледі. Ковариантты туындылар оператормен немесе нүктелі үтірмен белгіленген индекстер арқылы көрсетіледі. Метрикалық тензор коэффициенттері матрицасының детерминантының абсолюттік шамасы (индекссіз) арқылы белгіленеді. Индекссіз жазылған басқа тензор белгілері сәйкес тензордың іздерін білдіреді, мысалы: .

ADM Split

АДМ бөлінісі – кеңістік-уақыт метрикасын үш кеңістіктік және бір уақыт компонентіне (жапырақшаға) бөлу. Ол кеңістік-уақыт метрикасын кеңістіктік және уақыт бөліктеріне ажыратады, бұл гравитациялық өрістердің эволюциясын зерттеуді жеңілдетеді. Негізгі идея – кеңістік-уақыт метрикасын гипербеттер арасындағы уақыт өтуін көрсететін лапс функциясы және осы гипербеттер арасындағы кеңістіктік координаттардың өзгеруін білдіретін жылғаю векторы) және 3D кеңістіктік метрика арқылы өрнектеу. Математикалық жазылуы:

мұндағы – уақыт өтуін кодтайтын лапс функциясы, – жылғаю векторы, гипербеттер арасындағы кеңістіктік координаттардың өзгеруін кодтайды. – әрбір гипербеттегі 3D кеңістіктік метрика. Бұл жіктеу кеңістік-уақыт эволюциясы теңдеулерін шектеулерге (кеңістіктік гипербеттегі бастапқы шарттарды байланыстырады) және эволюция теңдеулеріне (бір гипербеттен екіншісіне кеңістік-уақыт геометриясының өзгеруін сипаттайды) бөлуге мүмкіндік береді.

Кванттық ауырлықпен жұмыс

ADM формуласын пайдаланып, кванттық механикада берілген Гамильтондыққа сәйкес Шредингер теңдеуін құрастырған сияқты, гравитацияның кванттық теориясын құруға талпынуға болады. Яғни, каноникалық импульстар мен кеңістіктік метрика функцияларын сызықтық функционалды дифференциалды операторлармен алмастыруға болады. Квант теориясында операторларды шапкалармен белгілейміз. Бұл Уилер-ДеВит теңдеуіне алып келеді.

Эйнштейн теңдеулерінің сандық шешімдеріне қолдану

Эйнштейн өрісі теңдеулерінің белгілі нақты шешімдері салыстырмалы түрде аз. Басқа шешімдерді табу үшін, суперкомпьютерлерді теңдеулерге жуықтап есептелген шешімдерді табу үшін пайдаланатын сандық салыстырмалылық деп аталатын белсенді зерттеу саласы бар. Мұндай шешімдерді сандық түрде құрастыру үшін көптеген зерттеушілер Эйнштейн теңдеулерінің АДМ формуласына жақын формуласынан бастайды. Көбінесе қолданылатын тәсілдер ADM формализміне негізделген бастапқы мәселелермен басталады. Гамильтондық формулалардағы негізгі мәселе – екінші реттік теңдеулер жиынтығын бірінші реттік теңдеулер жиынтығымен алмастыру. Бұл екінші теңдеулер жиынтығын Гамильтондық формула арқылы оңай алуға болады. Әрине, бұл сандық физика үшін өте пайдалы, себебі дифференциалдық теңдеулердің ретін төмендету, егер біз теңдеулерді компьютерге дайындағымыз келсе, ыңғайлы болады.

АДМ энергиясы мен массасы

ADM энергиясы – жалпы салыстырмалылық теориясында энергияны анықтаудың ерекше жолы. Ол тек кеңістік-уақыттың белгілі бір арнайы геометрияларына ғана қолданылады, олар шексіздікте жақсы анықталған метрикалық тензорға асимптотикалық түрде жақындайды, мысалы, асимптотикалық түрде Минковский кеңістігіне жақындайтын кеңістік-уақыт. Мұндай жағдайларда ADM энергиясы метрикалық тензордың берілген асимптотикалық түрінен ауытқуының функциясы ретінде анықталады. Басқаша айтқанда, ADM энергиясы шексіздіктегі гравитациялық өрістің күші ретінде есептеледі. Егер қажетті асимптотикалық форма уақытқа тәуелсіз болса (мысалы, өзі Минковский кеңістігі), онда ол уақыт бойынша симметрияны сақтайды. Нотер теоремасы осы жағдайда ADM энергиясының сақталуын білдіреді. Жалпы салыстырмалылық теориясына сәйкес, жалпы энергияның сақталу заңы уақытқа тәуелді кеңістіктерде қолданылмайды – мысалы, физикалық космологияда ол толығымен бұзылады. Атап айтқанда, ғарыштық инфляция вакуумдық энергия тығыздығы шамамен тұрақты болғанымен, Ғаламның көлемі экспоненциалды түрде өсетіндіктен, "ешненеден" энергия (және масса) жасай алады.

Өзгертілген ауырлық режиміне қолдану

ADM ыдырауын қолданып және қосымша көмекші өрістерді енгізу арқылы, 2009 жылы Deruelle және авторлар тобы "Лагранжианы Риман тензорының кез келген функциясы болатын" модификацияланған гравитациялық теориялар үшін Гиббонс-Хокинг-Йорк шекаралық мүшесін табу әдісін анықтады.