Введение

Формализм Арновитта — Дезер — Миснера (ADM) (названный в честь его авторов Ричарда Арновитта, Стэнли Дезер и Чарльза В. Миснера) — это гамильтонова формулировка общей теории относительности, играющая важную роль в канонической квантовой гравитации и численной относительности. Впервые он был опубликован в 1959 году. Подробный обзор формализма, опубликованный авторами в 1962 году, был переиздан в журнале General Relativity and Gravitation, а оригинальные статьи доступны в архивах Physical Review.

Обзор

Формализм предполагает, что пространство-время расслоено на семейство пространственно-подобных поверхностей, индексируемых их временной координатой, и с координатами на каждом слое, заданными . Динамическими переменными этой теории являются метрический тензор трехмерных пространственных слоев и их сопряженные импульсы. Используя эти переменные, можно определить гамильтониан и, следовательно, записать уравнения движения для общей теории относительности в форме уравнений Гамильтона. В дополнение к двенадцати переменным и , существует четыре лагранжевых множителя: функция сдвига , и компоненты векторного поля сдвига, . Они описывают, как соединены отдельные "листы" расслоения пространства-времени. Уравнения движения для этих переменных могут быть заданы произвольно; эта свобода соответствует свободе выбора способа построения системы координат в пространстве и времени.

Обозначение

Большинство работ используют обозначения, в которых четырехмерные тензоры записываются в абстрактном индексном виде, при этом греческие индексы обозначают пространственно-временные координаты, принимающие значения (0, 1, 2, 3), а латинские индексы – пространственные координаты, принимающие значения (1, 2, 3). В данном выводе к величинам, которые обычно имеют как трехмерное, так и четырехмерное представление, добавляется верхний индекс (4), например, метрический тензор для трехмерных сечений и метрический тензор для полного четырехмерного пространства-времени. В тексте используется обозначение Эйнштейна, подразумевающее суммирование по повторяющимся индексам. Используются два типа производных: частные производные обозначаются либо оператором, либо нижними индексами, предваряемыми запятой. Ковариантные производные обозначаются либо оператором, либо нижними индексами, предваряемыми точкой с запятой. Абсолютное значение определителя матрицы коэффициентов метрического тензора обозначается (без индексов). Другие тензорные символы, записанные без индексов, представляют собой след соответствующего тензора, например.

АДМ Сплит

Разделение АДМ означает разделение пространственно-временной метрики на три пространственные компоненты и один временной компонент (фолиация). Оно разделяет пространственно-временную метрику на ее пространственную и временную части, что облегчает изучение эволюции гравитационных полей. Основная идея заключается в выражении пространственно-временной метрики через функцию пролёта, представляющую временную эволюцию между гиперповерхностями, и вектор сдвига, представляющий изменения пространственных координат между этими гиперповерхностями, вместе с трехмерной пространственной метрикой. Математически это разделение записывается как:

где – функция пролёта, кодирующая собственное время эволюции, – вектор сдвига, кодирующий изменение пространственных координат между гиперповерхностями, а – возникающая трехмерная пространственная метрика на каждой гиперповерхности. Такое разложение позволяет разделить уравнения эволюции пространства-времени на ограничения (связывающие начальные данные на пространственной гиперповерхности) и уравнения эволюции (описывающие изменение геометрии пространства-времени от одной гиперповерхности к другой).

Применение к квантовой гравитации

Используя формулировку АДМ, можно попытаться построить квантовую теорию гравитации аналогично построению уравнения Шредингера для заданного гамильтониана в квантовой механике. А именно, заменить канонические импульсы и функции пространственной метрики линейными функциональными дифференциальными операторами. Более точно, замена классических переменных на операторы ограничена соотношениями коммутации. Обозначение с "крышкой" (^) соответствует операторам в квантовой теории. Это приводит к уравнению Уиллера — Девитта.

Применение на числовых решениях уравнений Эйнштейна

Есть относительно мало известных точных решений уравнений Эйнштейна. Для поиска других решений активно развивается область исследований, известная как численная общая теория относительности, в которой для нахождения приближенных решений уравнений используются суперкомпьютеры. Для численного построения таких решений большинство исследователей начинают с формулировки уравнений Эйнштейна, тесно связанной с формулировкой ADM. Наиболее распространенные подходы основаны на задаче начальных условий, сформулированной в рамках формализма ADM. В гамильтоновых формулировках ключевым моментом является замена системы уравнений второго порядка эквивалентной системой уравнений первого порядка. Получить эту вторую систему уравнений можно относительно легко, используя гамильтонову формулировку. Разумеется, это очень полезно для численной физики, поскольку понижение порядка дифференциальных уравнений часто упрощает подготовку уравнений для компьютерного решения.

Энергия и масса АДМ

Энергия АДМ – это специальный способ определения энергии в общей теории относительности, применимый только к некоторым особым геометриям пространства-времени, асимптотически стремящимся к хорошо определенному метрическому тензору на бесконечности – например, к пространству-времени, асимптотически приближающемуся к пространству Минковского. В этих случаях энергия АДМ определяется как функция отклонения метрического тензора от его предписанной асимптотической формы. Иными словами, энергия АДМ вычисляется как напряженность гравитационного поля на бесконечности. Если требуемая асимптотическая форма не зависит от времени (например, само пространство Минковского), то она обладает симметрией относительно сдвигов во времени. Тогда теорема Нётер подразумевает, что энергия АДМ сохраняется. Согласно общей теории относительности, закон сохранения полной энергии не выполняется в более общих, зависящих от времени фоновых условиях – например, он полностью нарушается в физической космологии. В частности, космическая инфляция способна производить энергию (и массу) из "ничего", поскольку плотность энергии вакуума приблизительно постоянна, но объем Вселенной растет экспоненциально.

Применение в модифицированной гравитации

Используя разложение АДМ и вводя дополнительные вспомогательные поля, в 2009 году Deruelle и др. нашли метод определения граничного члена Гиббонса — Хокинга — Йорка для модифицированных теорий гравитации, "лагранжиан которых является произвольной функцией тензора Римана".