Кіріспе

Математикада бөлінген октонийлер – нақты сандар бойынша 8 өлшемді ассоциативті емес алгебра. Стандартты октонийлерден айырмашылығы, олар нөлдік емес, керісі жоқ элементтерді қамтиды. Сондай-ақ, олардың квадраттық формаларының таңбалары да өзгеше: бөлінген октонийлерде бөлінген таңба (4,4) болады, ал октонийлерде оң белгілі таңба (8,0) болады. Изоморфизмге дейін, октонийлер мен бөлінген октонийлер – нақты сандардағы жалғыз екі 8 өлшемді композициялық алгебра. Олар сонымен қатар нақты сандардағы жалғыз екі октонион алгебрасы. Бөлінген октонийлерге ұқсас бөлінген октонион алгебраларын кез келген денеде анықтауға болады.

Қасиеттері

Октониондар сияқты, бөлінген октониондар да коммутативті емес және ассоциативті емес. Октониондар сияқты, олар да композициялық алгебра құрайды, себебі N квадраттық формасы мультипликативті. Яғни,

Бөлінген октониондар Муфанг теңдеулерін қанағаттандырады, сондықтан баламалы алгебраны құрайды. Демек, Артин теоремасы бойынша, кез келген екі элементпен жасалған субальгебра ассоциативті болады. Барлық инверттелетін элементтердің (яғни N(x) ≠ 0 шартын қанағаттандыратын элементтердің) жиынтығы Муфанг циклын құрайды. Бөлінген октониондардың автоморфизм тобы – 14 өлшемді Ли тобы, ерекше жай Ли тобы G2-нің бөлінген нақты түрі.

Қолданбалар

Бөлінетін октониондар физикалық заңдарды сипаттауда қолданылады. Мысалы: Физикадағы Дирак теңдеуі (еркін спин 1/2 бөлшектің қозғалыс теңдеуі, мысалы, электрон немесе протон) туа біткен бөлінетін октониондық арифметикада өрнектеле алады. Суперсимметриялық кванттық механиканың октониондық кеңейтімі бар. Зорн негізіндегі бөлінетін октонион алгебрасы жергілікті өлшеулі симметриялық SU(3) кванттық хромодинамикасын модельдеуде қолданылуы мүмкін. Радиусы 3 есе үлкен шардың үстінде сырғанамай домалайтын шар мәселесінің симметрия тобы – G2 ерекше тобының бөлінген нақты түрі болып табылады, себебі бұл мәселені бөлінетін октониондарды пайдаланып сипаттауға болады.