Введение

В математике, разделенные октонионы — это 8-мерная неассоциативная алгебра над полем вещественных чисел. В отличие от обычных октонионов, они содержат ненулевые элементы, не имеющие обратных. Кроме того, сигнатуры их квадратичных форм различаются: разделенные октонионы имеют сигнатуру расщепления (4,4), в то время как октонионы имеют положительно определенную сигнатуру (8,0). С точностью до изоморфизма, октонионы и разделенные октонионы — единственные две 8-мерные композиционные алгебры над полем вещественных чисел. Они также являются единственными двумя октонионными алгебрами над полем вещественных чисел. Разделенные октонионные алгебры, аналогичные разделенным октонионам, могут быть определены над любым полем.

Свойства

Разделенные октонионы, как и октонионы, некоммутативны и неассоциативны. Также, как и октонионы, они образуют алгебру композиции, поскольку квадратичная форма N мультипликативна. То есть,

Разделенные октонионы удовлетворяют тождествам Муфанга и, следовательно, образуют альтернативную алгебру. Поэтому, по теореме Артина, субалгебра, порожденная любыми двумя элементами, является ассоциативной. Множество всех обратимых элементов (то есть тех элементов, для которых N(x) ≠ 0) образует петлю Муфанга. Автоморфическая группа разделенных октонионов является 14-мерной группой Ли, являющейся расщепляемой вещественной формой исключительной простой группы Ли G2.

Приложения

Разделенные октонионы используются в описании физических законов. Например:
Уравнение Дирака в физике (уравнение движения свободной частицы со спином 1/2, такой как, например, электрон или протон) может быть выражено в терминах собственной арифметики разделенных октонионов. Суперсимметричная квантовая механика имеет октонионное расширение. Алгебра разделенных октонионов, основанная на работе Зорна, может быть использована для моделирования локально-калибровочной симметричной квантовой хромодинамики SU(3). Задача о шаре, катящемся без проскальзывания по шару, радиус которого в 3 раза больше, имеет разделенную вещественную форму исключительной группы G2 в качестве своей группы симметрии, поскольку эту задачу можно описать с помощью разделенных октонионов.