Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Сақиналар теориясында, математиканың бір саласы, жартылай қарапайым алгебра – тривиалды Якобсон радикалы бар өріс үстіндегі ассоциативтік артиниан алгебра (алгебраның Якобсон радикалында тек нөл элементі ғана болады). Егер алгебра шекті өлшемді болса, онда оны қарапайым субальгебралардың Декарт көбейтіндісі ретінде беруге болады.
In ring theory, a branch of mathematics, a semisimple algebra is an associative artinian algebra over a field which has trivial Jacobson radical (only the zero element of the algebra is in the Jacobson radical). If the algebra is finite dimensional this is equivalent to saying that it can be expressed as a Cartesian product of simple subalgebras.
Анықтама
Алгебраның Якобсон радикалы – сол жақтағы әрбір қарапайым модульді жоятын барлық элементтерден тұратын идеал. Радикал барлық нильпотентті идеалдарды қамтиды, ал алгебра шекті өлшемді болса, радикалдың өзі нильпотентті идеал болып табылады. Алгебраның радикалы тек нөлдік элементтен тұрса, онда шекті өлшемді алгебра жартылай қарапайым деп аталады. A алгебрасы, егер ол тривиалды емес идеалдарға ие болмаса және A² = {ab | a, b ∈ A} ≠ {0} болса, қарапайым деп аталады. Аталған терминологияға сәйкес, қарапайым алгебралар жартылай қарапайым болады. Қарапайым алгебраның жалғыз мүмкін идеалдары – A және {0}. Сондықтан, егер A қарапайым болса, онда A нильпотентті емес. A² – A-ның идеалы болғандықтан және A қарапайым болғандықтан, A² = A. Индукция бойынша, кез келген оң бүтін сан n үшін Aⁿ = A, яғни A нильпотентті емес. Кешенді жазбалары бар n × n матрицалардың кез келген өзін-өзі қосатын субальгебрасы жартылай қарапайым болады. Rad(A) – A радикалы болсын. Егер M матрицасы Rad(A) құрамына кірсе, онда M*M, A-ның кейбір нильпотентті идеалдарының ішінде болады, демек, (M*M)ᵏ = 0, мұнда k – кез келген оң бүтін сан. M*M-нің оң жартылай анықталғандығынан, бұл M*M = 0 дегенді білдіреді. Осылайша, Mх барлық х үшін нөлдік вектор болады, яғни M = 0. Егер {Ai} – қарапайым алгебралардың шекті жиыны болса, онда олардың декарт көбейтіндісі A = ∏ Ai жартылай қарапайым болады. Егер (ai) – Rad(A) элементі болса және e₁ – A₁-дегі көбейту бірлігі болса (барлық қарапайым алгебралар көбейту бірлігіне ие), онда (a₁, a₂, ...) · (e₁, 0, ...) = (a₁, 0, 0) ∏ Ai-дың қандай да бір нильпотентті идеалына жатады. Бұл A₁-дегі барлық b үшін a₁b, A₁-де нильпотентті екенін білдіреді, яғни a₁ ∈ Rad(A₁). Осыдан a₁ = 0. Сол сияқты, барлық басқа i үшін de ai = 0. Анықтамадан көрінетіндей, жоғарыда айтылғанның керісі де дұрыс, яғни кез келген шекті өлшемді жартылай қарапайым алгебра, шекті сандағы қарапайым алгебралардың декарт көбейтіндісіне изоморфты болады.
The Jacobson radical of an algebra over a field is the ideal consisting of all elements that annihilate every simple left module. The radical contains all nilpotent ideals, and if the algebra is finite dimensional, the radical itself is a nilpotent ideal. A finite dimensional algebra is then said to be semisimple if its radical contains only the zero element. An algebra A is called simple if it has no proper ideals and A2 = {ab | a, b ∈ A} ≠ {0}. As the terminology suggests, simple algebras are semisimple. The only possible ideals of a simple algebra A are A and {0}. Thus if A is simple, then A is not nilpotent. Because A2 is an ideal of A and A is simple, A2 = A. By induction, An = A for every positive integer n, i. e. A is not nilpotent. Any self adjoint subalgebra A of n × n matrices with complex entries is semisimple. Let Rad(A) be the radical of A. Suppose a matrix M is in Rad(A). Then M*M lies in some nilpotent ideals of A, therefore (M*M)k = 0 for some positive integer k. By positive semidefiniteness of M*M, this implies M*M = 0. So M x is the zero vector for all x, i. e. M = 0. If {Ai} is a finite collection of simple algebras, then their Cartesian product A=Π Ai is semisimple. If (ai) is an element of Rad(A) and e1 is the multiplicative identity in A1 (all simple algebras possess a multiplicative identity), then (a1, a2, ) · (e1, 0, ) = (a1, 0 , 0) lies in some nilpotent ideal of Π Ai. This implies, for all b in A1, a1b is nilpotent in A1, i. e. a1 ∈ Rad(A1). So a1 = 0. Similarly, ai = 0 for all other i. It is less apparent from the definition that the converse of the above is also true, that is, any finite dimensional semisimple algebra is isomorphic to a Cartesian product of a finite number of simple algebras.
Жіктеу
Джозеф Веддерберннің теоремасы кез келген өріс үстіндегі шекті өлшемді жартылай қарапайым алгебраларды толық жіктейді. Кез келген мұндай алгебра шекті көбейтіндіге изоморфты, мұнда n – табиғи сандар, D<sub>i</sub> – өріс үстіндегі бөлу алгебралары, ал M<sub>n</sub> – n ретті матрицалар алгебрасы. Бұл көбейтінді факторлардың орналасу тәртібіне дейін бірегей. Бұл теорема кейіннен Эмиль Артин тарапынан жартылай қарапайым сақиналарға жалпыланды. Бұл жалпы нәтиже Веддерберн-Артин теоремасы деп аталады.
A theorem due to Joseph Wedderburn completely classifies finite dimensional semisimple algebras over a field Any such algebra is isomorphic to a finite product where the are natural numbers, the are division algebras over , and is the algebra of matrices over This product is unique up to permutation of the factors. This theorem was later generalized by Emil Artin to semisimple rings. This more general result is called the Wedderburn–Artin theorem.