Полупростые алгебры в теории колец: определение, свойства, связь с простыми подкольцами и радикалом Якобсона. Математика, алгебра, нильпотентные идеалы.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В теории колец, области математики, полупростая алгебра — это ассоциативная артинианская алгебра над полем, имеющая тривиальный радикал Якобсона (в радикале Якобсона содержится только нулевой элемент алгебры). Если алгебра конечномерна, то это эквивалентно тому, что она может быть представлена как декартово произведение простых подалгебр.
In ring theory, a branch of mathematics, a semisimple algebra is an associative artinian algebra over a field which has trivial Jacobson radical (only the zero element of the algebra is in the Jacobson radical). If the algebra is finite dimensional this is equivalent to saying that it can be expressed as a Cartesian product of simple subalgebras.
Определение
Радикал Джейкобсона алгебры над полем — это идеал, состоящий из всех элементов, аннулирующих каждый простой левый модуль. Радикал содержит все нильпотентные идеалы, и если алгебра конечномерна, то сам радикал является нильпотентным идеалом. Конечномерная алгебра называется полупростой, если её радикал содержит только нулевой элемент. Алгебра A называется простой, если она не имеет собственных идеалов и A² = {ab | a, b ∈ A} ≠ {0}. Как следует из терминологии, простые алгебры полупросты. Единственными возможными идеалами простой алгебры A являются A и {0}. Следовательно, если A проста, то A не нильпотентна. Поскольку A² является идеалом A, а A проста, то A² = A. По индукции, Aⁿ = A для любого положительного целого числа n, то есть A не является нильпотентной. Любая самосопряжённая субальгебра A из n × n матриц с комплексными элементами полупроста. Пусть Rad(A) — радикал A. Предположим, матрица M принадлежит Rad(A). Тогда M*M лежит в некотором нильпотентном идеале A, следовательно, (M*M)ᵏ = 0 для некоторого положительного целого k. В силу положительной полуопределённости M*M, это влечёт M*M = 0. Таким образом, Mх — нулевой вектор для всех x, то есть M = 0. Если {Ai} — конечный набор простых алгебр, то их декартово произведение A = ∏ Ai полупросто. Если (ai) — элемент Rad(A) и e₁ — мультипликативная единица в A₁ (все простые алгебры обладают мультипликативной единицей), то (a₁, a₂, ...) · (e₁, 0, ...) = (a₁, 0, 0) лежит в некотором нильпотентном идеале ∏ Ai. Это означает, что для всех b из A₁, a₁b нильпотентен в A₁, то есть a₁ ∈ Rad(A₁). Следовательно, a₁ = 0. Аналогично, ai = 0 для всех остальных i. Менее очевидно из определения, что обратное также верно, то есть любая конечномерная полупростая алгебра изоморфна декартовому произведению конечного числа простых алгебр.
The Jacobson radical of an algebra over a field is the ideal consisting of all elements that annihilate every simple left module. The radical contains all nilpotent ideals, and if the algebra is finite dimensional, the radical itself is a nilpotent ideal. A finite dimensional algebra is then said to be semisimple if its radical contains only the zero element. An algebra A is called simple if it has no proper ideals and A2 = {ab | a, b ∈ A} ≠ {0}. As the terminology suggests, simple algebras are semisimple. The only possible ideals of a simple algebra A are A and {0}. Thus if A is simple, then A is not nilpotent. Because A2 is an ideal of A and A is simple, A2 = A. By induction, An = A for every positive integer n, i. e. A is not nilpotent. Any self adjoint subalgebra A of n × n matrices with complex entries is semisimple. Let Rad(A) be the radical of A. Suppose a matrix M is in Rad(A). Then M*M lies in some nilpotent ideals of A, therefore (M*M)k = 0 for some positive integer k. By positive semidefiniteness of M*M, this implies M*M = 0. So M x is the zero vector for all x, i. e. M = 0. If {Ai} is a finite collection of simple algebras, then their Cartesian product A=Π Ai is semisimple. If (ai) is an element of Rad(A) and e1 is the multiplicative identity in A1 (all simple algebras possess a multiplicative identity), then (a1, a2, ) · (e1, 0, ) = (a1, 0 , 0) lies in some nilpotent ideal of Π Ai. This implies, for all b in A1, a1b is nilpotent in A1, i. e. a1 ∈ Rad(A1). So a1 = 0. Similarly, ai = 0 for all other i. It is less apparent from the definition that the converse of the above is also true, that is, any finite dimensional semisimple algebra is isomorphic to a Cartesian product of a finite number of simple algebras.
Классификация
Теорема Джозефа Уэддерберна полностью классифицирует конечномерные полупростые алгебры над полем. Любая такая алгебра изоморфна конечному произведению, где *nᵢ* – натуральные числа, *Dᵢ* – алгебры с делением над полем, а *Mₙᵢ(Dᵢ)* – алгебра матриц размера *nᵢ x nᵢ* над *Dᵢ*. Это произведение единственно с точностью до перестановки сомножителей. Эта теорема была позже обобщена Эмилем Артином на полупростые кольца. Этот более общий результат называется теоремой Уэддерберна — Артина.
A theorem due to Joseph Wedderburn completely classifies finite dimensional semisimple algebras over a field Any such algebra is isomorphic to a finite product where the are natural numbers, the are division algebras over , and is the algebra of matrices over This product is unique up to permutation of the factors. This theorem was later generalized by Emil Artin to semisimple rings. This more general result is called the Wedderburn–Artin theorem.