Кіріспе

Математикада, екінші жартылай туынды тестісі – көп айнымалы есептеуде функцияның сындық нүктесі жергілікті минимум, максимум немесе шеке нүктесі болатынын анықтауға қолданылатын әдіс.

Көптеген айнымалылардың функциялары

Үш немесе одан көп өзгермелісі бар f функциясы үшін жоғарыдағы ереже жалпыланады. Осы контексте, Хессиан матрицасының детерминантын қарастырудың орнына, критикалық нүктедегі Хессиан матрицасының өзіндік мәндеріне назар аудару қажет. Хессиан матрицасы инверттендірілетін болса, кез келген критикалық нүкте a үшін келесі тест қолданылуы мүмкін:

Егер Хессиан a нүктесінде оң анықталған (эквивалентті түрде, барлық өзіндік мәндері оң болса), онда f функциясы a нүктесінде жергілікті минимумға жетеді. Егер Хессиан a нүктесінде теріс анықталған (эквивалентті түрде, барлық өзіндік мәндері теріс болса), онда f функциясы a нүктесінде жергілікті максимумға жетеді. Егер Хессианда оң және теріс өзіндік мәндердің екеуі де болса, онда a, f үшін тұрақсыз нүкте болып табылады (және бұл тіпті a дегенеративті болған жағдайда да дұрыс). Жоғарыда тізілмеген жағдайларда тесттің нәтижесі белгісіз. Үш немесе одан көп айнымалысы бар функциялар үшін Хессианның детерминанты критикалық нүктені жіктеу үшін жеткілікті ақпаратты қамтамасыз етпейді, себебі бірлескен жеткілікті екінші реттік шарттардың саны айнымалылардың санына тең, ал Хессианның детерминантындағы таңба шарты – бұл шарттардың бірі ғана. Бір айнымалы жағдайында Хессиан шарты әдеттегі екінші туынды тестін ғана береді. Екі айнымалы жағдайында, және Хессианның басқарушы кіші матрицалары болып табылады. Жоғарыда тізілген осы кіші матрицалардың таңбаларына қатысты алғашқы екі шарт – Хессианның оң немесе теріс анықталғандығы үшін шарттар. Кез келген n санындағы n айнымалының жалпы жағдайы үшін Хессиан матрицасының n басқарушы кіші матрицаларында n таңба шарты бар, олар бірге Хессианның оң немесе теріс анықталғандығына эквивалентті (Силвестердің критерийі): жергілікті минимум үшін барлық басқарушы кіші матрицалар оң болуы керек, ал жергілікті максимум үшін қатарлар мен бағандардың саны тақ болған кіші матрицалар теріс, ал қатарлар мен бағандардың саны жұп болған кіші матрицалар оң болуы керек. Теңдік шектеулі оптимизация жағдайында осы ережелерді жалпылайтын талқылау үшін Hessian matrix#Bordered Hessian бөлімін қараңыз.