Введение

В математике, тест второй частной производной — это метод многомерного исчисления, используемый для определения, является ли критическая точка функции локальным минимумом, максимумом или седловой точкой.

Функции многих переменных

Для функции f от трех или более переменных существует обобщение вышеуказанного правила. В этом контексте, вместо изучения детерминанта гессианской матрицы, следует рассмотреть собственные значения гессианской матрицы в критической точке. Следующий тест может быть применен в любой критической точке a, для которой гессианская матрица является обратимой:

Если гессиан положительно определен (эквивалентно, имеет все собственные значения положительные) в точке a, то f достигает локального минимума в точке a. Если гессиан отрицательно определен (эквивалентно, имеет все собственные значения отрицательные) в точке a, то f достигает локального максимума в точке a. Если гессиан имеет как положительные, так и отрицательные собственные значения, то точка a является седловой точкой для f (и это верно даже в случае вырожденной точки a). В случаях, не перечисленных выше, тест не даёт однозначного ответа. Для функций с тремя или более переменными детерминант гессиана не предоставляет достаточной информации для классификации критической точки, поскольку число совместно достаточных условий второго порядка равно количеству переменных, а условие знака детерминанта гессиана – лишь одно из этих условий. Обратите внимание, что в случае одной переменной условие Гесса просто сводится к обычному тесту второй производной. В случае двух переменных, и являются главными минорами гессиана. Первые два условия, перечисленные выше, относительно знаков этих миноров, являются условиями положительной или отрицательной определенности гессиана. Для общего случая произвольного числа n переменных существует n условий на знаки n главных миноров гессианской матрицы, которые вместе эквивалентны положительной или отрицательной определенности гессиана (критерий Сильвестра): для локального минимума все главные миноры должны быть положительными, а для локального максимума миноры с нечетным числом строк и столбцов должны быть отрицательными, а миноры с четным числом строк и столбцов – положительными. Подробное обсуждение, обобщающее эти правила для случая оптимизации с ограничениями равенства, см. в разделе Гессианская матрица#Граничный гессиан.