Кескіндеме және оның құрамындағы теңдік

Кіріспе

Карталау композициясында оның квадратына тең карталау

Математикада проекция – жиынның (немесе басқа математикалық құрылымның) ішкі жиынға (немесе ішкі құрылымға) идемпотентті карталау. Бұл жағдайда, идемпотентті дегеніміз, екі рет проекциялау бір рет проекциялаумен бірдей. Проекцияның кеңістіктік шектеуі, тіпті идемпотенттік қасиеті жоғалған жағдайда да, проекция деп аталады. Проекцияның күнделікті мысалы – жазықтықта (қағаз бетінде) көлеңке түсіру: нүктенің проекциясы – қағаз бетіндегі оның көлеңкесі, ал қағаз бетіндегі нүктенің проекциясы (көлеңкесі) – сол нүктенің өзі (идемпотенттік). Үш өлшемді шардың көлеңкесі – жабық диск болып табылады. Алғашқыда проекция ұғымы Евклид геометриясында үш өлшемді Евклид кеңістігінің оның ішіндегі жазықтыққа проекциясын көрсету үшін енгізілген, мысалы, көлеңке мысалы сияқты. Осы типтегі екі негізгі проекция: нүктеден жазықтыққа немесе орталық проекция: Егер C проекцияның орталығы деп аталатын нүкте болса, онда C-ден өзгеше нүкте P-нің проекциясы C-ні қамтымайтын жазықтыққа CP түзуінің жазықтықпен қиылысуы болып табылады. CP түзуі жазықтыққа параллель болатын P нүктелері проекция арқылы ешқандай бейнеге ие емес, бірақ олар жазықтықтың шексіз нүктесіне проекцияланады (осы терминологияны ресмилендіру үшін проективтік геометрияны қараңыз). C нүктесінің проекциясы анықталмаған. D бағытына параллель проекция жазықтықта немесе параллель проекция: P нүктесінің бейнесі – D-ге параллель P арқылы өтетін түзудің жазықтықпен қиылысуы. Нақты анықтама үшін, кез келген өлшемге жалпыланған нұсқаны қараңыз. Математикадағы проекция ұғымы өте көне, және оның тамыры нақты дүниедегі заттардың жер бетіне түсіретін көлеңкелер құбылысында болуы мүмкін. Бұл қарапайым идея геометриялық контексте алдымен, кейін математиканың басқа салаларында жетілдіріліп, абстракцияланды. Уақыт өте келе осы ұғымның әртүрлі нұсқалары дамыды, бірақ бүгін біз бұл нұсқаларды жеткілікті абстрактілі жағдайда біріктіре аламыз. Картографияда карта проекциясы – Жер бетінің бір бөлігінің жазықтықтағы картасы, кейбір жағдайларда, бірақ әрқашан емес, жоғарыда айтылған мағынадағы проекцияның шектеуі. 3D проекциялар перспектива теориясының негізінде де жатыр. Екі түрдегі проекцияларды біріктіру қажеттілігі және проекция ортасынан өзгеше кез келген нүктенің орталық проекциясы арқылы бейнесін анықтау проективтік геометрияның бастауында тұр. Алайда, проективтік түрлендіру – проективтік кеңістіктің биекциясы, бұл қасиет осы мақаланың проекцияларымен ортақ емес.

In mathematics, a projection is an idempotent mapping of a set (or other mathematical structure) into a subset (or sub structure). In this case, idempotent means that projecting twice is the same as projecting once. The restriction to a subspace of a projection is also called a projection, even if the idempotence property is lost. An everyday example of a projection is the casting of shadows onto a plane (sheet of paper): the projection of a point is its shadow on the sheet of paper, and the projection (shadow) of a point on the sheet of paper is that point itself (idempotency). The shadow of a three dimensional sphere is a closed disk. Originally, the notion of projection was introduced in Euclidean geometry to denote the projection of the three dimensional Euclidean space onto a plane in it, like the shadow example. The two main projections of this kind are:
The projection from a point onto a plane or central projection: If C is a point, called the center of projection, then the projection of a point P different from C onto a plane that does not contain C is the intersection of the line CP with the plane. The points P such that the line CP is parallel to the plane does not have any image by the projection, but one often says that they project to a point at infinity of the plane (see Projective geometry for a formalization of this terminology). The projection of the point C itself is not defined. The projection parallel to a direction D, onto a plane or parallel projection: The image of a point P is the intersection with the plane of the line parallel to D passing through P. See for an accurate definition, generalized to any dimension. The concept of projection in mathematics is a very old one, and most likely has its roots in the phenomenon of the shadows cast by real world objects on the ground. This rudimentary idea was refined and abstracted, first in a geometric context and later in other branches of mathematics. Over time different versions of the concept developed, but today, in a sufficiently abstract setting, we can unify these variations. In cartography, a map projection is a map of a part of the surface of the Earth onto a plane, which, in some cases, but not always, is the restriction of a projection in the above meaning. The 3D projections are also at the basis of the theory of perspective. The need for unifying the two kinds of projections and of defining the image by a central projection of any point different of the center of projection are at the origin of projective geometry. However, a projective transformation is a bijection of a projective space, a property not shared with the projections of this article.

Анықтама

Жалпы, домені мен кодомені бір жиын (немесе математикалық құрылым) болған және идемпотентті карталау, яғни өзінің өзімен композициясы тең болатын карталау проекция деп аталады. Проекция оң керісі бар карталауға да қатысты болуы мүмкін. Екі түсінік те тығыз байланысты. A жиынынан өзіне идемпотентті карталау ретінде p-ні қарастырайық (яғни p ∘ p = p), ал B = p(A) – p картасының бейнесі болсын. Егер p картасын A-дан B-ға карта ретінде π арқылы, ал B-нің A-ға енгізілуін i арқылы белгілесек (осылайша p = i ∘ π), онда π ∘ i = IdB (яғни π-нің оң керісі бар). Керісінше, егер π-нің оң керісі болса, онда π ∘ i = IdB, i ∘ π идемпотентті екенін білдіреді.