Проекции и их свойства: от теней до математических отображений

Введение

Отображение, равное своему квадрату при композиции отображений.

В математике проекция — это идемпотентное отображение множества (или другой математической структуры) в подмножество (или подструктуру). В этом случае идемпотентность означает, что двойное проецирование эквивалентно одинарному. Ограничение проекции на подпространство также называется проекцией, даже если свойство идемпотентности теряется. Повседневным примером проекции является отбрасывание теней на плоскость (лист бумаги): проекцией точки является её тень на листе бумаги, а проекция (тень) точки на листе бумаги — это сама точка (идемпотентность). Тень трехмерной сферы — это замкнутый диск. Изначально понятие проекции было введено в евклидовой геометрии для обозначения проекции трехмерного евклидова пространства на плоскость внутри него, как в примере с тенью. Две основные проекции этого типа:
Проекция из точки на плоскость, или центральная проекция: если C — точка, называемая центром проекции, то проекцией точки P, отличной от C, на плоскость, не содержащую C, является точка пересечения прямой CP с плоскостью. Точки P, для которых прямая CP параллельна плоскости, не имеют образа при проецировании, но часто говорят, что они проецируются в точку на бесконечности плоскости (см. Проективная геометрия для формализации этой терминологии). Проекция самой точки C не определена. Проекция, параллельная направлению D, на плоскость, или параллельная проекция: образ точки P — это точка пересечения с плоскостью прямой, параллельной D и проходящей через P. Подробное определение, обобщенное на любое измерение, можно найти [здесь]. Концепция проекции в математике очень древняя и, вероятно, берет свои корни в явлении теней, отбрасываемых реальными объектами на землю. Эта простейшая идея была уточнена и абстрагирована, сначала в геометрическом контексте, а затем и в других областях математики. Со временем развивались различные версии этой концепции, но сегодня, в достаточно абстрактной постановке, мы можем объединить эти варианты. В картографии проекция карты — это отображение части поверхности Земли на плоскость, которое в некоторых, но не всегда, случаях является ограничением проекции в вышеуказанном смысле. 3D-проекции также лежат в основе теории перспективы. Необходимость объединения двух типов проекций и определения образа при центральной проекции любой точки, отличной от центра проекции, привела к возникновению проективной геометрии. Однако проективное преобразование является биекцией проективного пространства, свойство, не разделяемое проекциями, рассматриваемыми в данной статье.

In mathematics, a projection is an idempotent mapping of a set (or other mathematical structure) into a subset (or sub structure). In this case, idempotent means that projecting twice is the same as projecting once. The restriction to a subspace of a projection is also called a projection, even if the idempotence property is lost. An everyday example of a projection is the casting of shadows onto a plane (sheet of paper): the projection of a point is its shadow on the sheet of paper, and the projection (shadow) of a point on the sheet of paper is that point itself (idempotency). The shadow of a three dimensional sphere is a closed disk. Originally, the notion of projection was introduced in Euclidean geometry to denote the projection of the three dimensional Euclidean space onto a plane in it, like the shadow example. The two main projections of this kind are:
The projection from a point onto a plane or central projection: If C is a point, called the center of projection, then the projection of a point P different from C onto a plane that does not contain C is the intersection of the line CP with the plane. The points P such that the line CP is parallel to the plane does not have any image by the projection, but one often says that they project to a point at infinity of the plane (see Projective geometry for a formalization of this terminology). The projection of the point C itself is not defined. The projection parallel to a direction D, onto a plane or parallel projection: The image of a point P is the intersection with the plane of the line parallel to D passing through P. See for an accurate definition, generalized to any dimension. The concept of projection in mathematics is a very old one, and most likely has its roots in the phenomenon of the shadows cast by real world objects on the ground. This rudimentary idea was refined and abstracted, first in a geometric context and later in other branches of mathematics. Over time different versions of the concept developed, but today, in a sufficiently abstract setting, we can unify these variations. In cartography, a map projection is a map of a part of the surface of the Earth onto a plane, which, in some cases, but not always, is the restriction of a projection in the above meaning. The 3D projections are also at the basis of the theory of perspective. The need for unifying the two kinds of projections and of defining the image by a central projection of any point different of the center of projection are at the origin of projective geometry. However, a projective transformation is a bijection of a projective space, a property not shared with the projections of this article.

Определение

Как правило, отображение, у которого область определения и область значений совпадают (или являются одной и той же математической структурой), называется проекцией, если это отображение идемпотентно, то есть проекция равна своей композиции с самой собой. Проекцией также может называться отображение, имеющее правый обратный элемент. Оба понятия тесно связаны, а именно: пусть p – идемпотентное отображение множества A в себя (то есть p ∘ p = p), а B = p(A) – образ p. Обозначим π как отображение p, рассматриваемое как отображение из A в B, а i – как инъекцию B в A (так что p = i ∘ π). Тогда π ∘ i = IdB (то есть π имеет правый обратный элемент). И наоборот, если π имеет правый обратный элемент, то π ∘ i = IdB влечет за собой, что i ∘ π является идемпотентным.