Кіріспе
Математикада, геометрия саласында, n (n ≥ 3) рангі бар полярлық кеңістік немесе проективті индекс n − 1, P жиынтығынан тұрады, оны әдетте нүктелер жиынтығы деп атайды, және P-нің белгілі бір ішкі жиынтықтарынан, оларды кіші кеңістіктер деп атайды, олар келесі аксиомаларды қанағаттандырады:
Every subspace is isomorphic to a projective space Pd(K) with −1 ≤ d ≤ (n − 1) and K a division ring. (That is, it is a Desarguesian projective geometry.) For each subspace the corresponding d is called its dimension. The intersection of two subspaces is always a subspace. For each subspace A of dimension n − 1 and each point p not in A, there is a unique subspace B of dimension n − 1 containing p and such that A ∩ B is (n − 2) dimensional. The points in A ∩ B are exactly the points of A that are in a common subspace of dimension 1 with p.
There are at least two disjoint subspaces of dimension n − 1. It is possible to define and study a slightly bigger class of objects using only relationship between points and lines: a polar space is a partial linear space (P,L), so that for each point p ∈ P and
each line l ∈ L, the set of points of l collinear to p, is either a singleton or the whole l.
Finite polar spaces (where P is a finite set) are also studied as combinatorial objects.
Кез келген кіші кеңістік −1 ≤ d ≤ (n − 1) және K бөліну сақинасы болатын Pd(K) проективті кеңістігіне изоморфты. (Яғни, бұл Десаргезиандық проективті геометрия.) Әрбір кіші кеңістік үшін сәйкес келетін d оның өлшемі деп аталады. Екі кіші кеңістіктің қиылысы әрқашан кіші кеңістік болады. n − 1 өлшемді әрбір A кіші кеңістігі үшін және A-да жатпайтын әрбір p нүктесі үшін, p нүктесін қамтитын және A ∩ B (n − 2) өлшемді болатын бірегей n − 1 өлшемді B кіші кеңістігі бар. A ∩ B нүктелері – бұл p нүктесімен 1 өлшемді ортақ кіші кеңістікте орналасқан A нүктелерінің жиынтығы.
Every subspace is isomorphic to a projective space Pd(K) with −1 ≤ d ≤ (n − 1) and K a division ring. (That is, it is a Desarguesian projective geometry.) For each subspace the corresponding d is called its dimension. The intersection of two subspaces is always a subspace. For each subspace A of dimension n − 1 and each point p not in A, there is a unique subspace B of dimension n − 1 containing p and such that A ∩ B is (n − 2) dimensional. The points in A ∩ B are exactly the points of A that are in a common subspace of dimension 1 with p.
There are at least two disjoint subspaces of dimension n − 1. It is possible to define and study a slightly bigger class of objects using only relationship between points and lines: a polar space is a partial linear space (P,L), so that for each point p ∈ P and
each line l ∈ L, the set of points of l collinear to p, is either a singleton or the whole l.
Finite polar spaces (where P is a finite set) are also studied as combinatorial objects.
Кем дегенде n − 1 өлшемді екі ажыратылған кіші кеңістік бар. Нүктелер мен түзулер арасындағы қатынастарды ғана пайдалана отырып, объектілердің сәл үлкен класын анықтау және зерттеу мүмкін: полярлық кеңістік – бұл жартылай сызықтық кеңістік (P, L), сондықтан әрбір p ∈ P нүктесі үшін және әрбір l ∈ L түзуі үшін, p-ге қатысты l түзуінің нүктелерінің жиынтығы бір элементтен тұрады немесе l түзуінің өзі болады.
Every subspace is isomorphic to a projective space Pd(K) with −1 ≤ d ≤ (n − 1) and K a division ring. (That is, it is a Desarguesian projective geometry.) For each subspace the corresponding d is called its dimension. The intersection of two subspaces is always a subspace. For each subspace A of dimension n − 1 and each point p not in A, there is a unique subspace B of dimension n − 1 containing p and such that A ∩ B is (n − 2) dimensional. The points in A ∩ B are exactly the points of A that are in a common subspace of dimension 1 with p.
There are at least two disjoint subspaces of dimension n − 1. It is possible to define and study a slightly bigger class of objects using only relationship between points and lines: a polar space is a partial linear space (P,L), so that for each point p ∈ P and
each line l ∈ L, the set of points of l collinear to p, is either a singleton or the whole l.
Finite polar spaces (where P is a finite set) are also studied as combinatorial objects.
Шектелген полярлық кеңістіктер (P шекті жиынтық болатын жағдайда) комбинаторлық объектілер ретінде де зерттеледі.
Every subspace is isomorphic to a projective space Pd(K) with −1 ≤ d ≤ (n − 1) and K a division ring. (That is, it is a Desarguesian projective geometry.) For each subspace the corresponding d is called its dimension. The intersection of two subspaces is always a subspace. For each subspace A of dimension n − 1 and each point p not in A, there is a unique subspace B of dimension n − 1 containing p and such that A ∩ B is (n − 2) dimensional. The points in A ∩ B are exactly the points of A that are in a common subspace of dimension 1 with p.
There are at least two disjoint subspaces of dimension n − 1. It is possible to define and study a slightly bigger class of objects using only relationship between points and lines: a polar space is a partial linear space (P,L), so that for each point p ∈ P and
each line l ∈ L, the set of points of l collinear to p, is either a singleton or the whole l.
Finite polar spaces (where P is a finite set) are also studied as combinatorial objects.
Жалпыланған төртбұрыштар
Екінші дәрежелі полярлық кеңістік – жалпыланған төртбұрыш; осы жағдайда, соңғы анықтама бойынша, p нүктесімен бір түзуде жатқан нүктелер жиыны p ∈ One болған жағдайда ғана толыққандай бір түзуді құрайды. Түзулерде 2-ден көп нүкте, нүктелерде 2-ден көп түзу бар деген және сондай-ақ p нүктесі сол түзуде жатпайтын түзу және p нүктесі оның барлық нүктелерімен бір түзуде жатқанда бұрынғы анықтама соңғысынан шығарылады.
Жіктеу
Жак Титс кем дегенде үш рангі бар шекті полярлық кеңістік жоғарыда келтірілген классикалық полярлық кеңістіктердің үш түрінің бірімен изоморфты екенін дәлелдеді. Бұл тек шекті жалпыланған төртбұрыштарды жіктеу мәселесін ашық қалдырады.