Введение
В математике, в области геометрии, полярное пространство ранга n (n ≥ 3), или проективный индекс n − 1, состоит из множества P, условно называемого множеством точек, вместе с некоторыми подмножествами P, называемыми подпространствами, которые удовлетворяют следующим аксиомам: каждое подпространство изоморфно проективному пространству Pd(K) с −1 ≤ d ≤ (n − 1) и K – кольцом с делением. (То есть это дезаргесова проективная геометрия.) Для каждого подпространства соответствующее d называется его размерностью. Пересечение двух подпространств всегда является подпространством. Для каждого подпространства A размерности n − 1 и каждой точки p, не принадлежащей A, существует единственное подпространство B размерности n − 1, содержащее p и такое, что A ∩ B является (n − 2)-мерным. Точки в A ∩ B – это именно те точки A, которые лежат в общем подпространстве размерности 1 с точкой p. Существует по крайней мере два непересекающихся подпространства размерности n − 1. Можно определить и изучать несколько более широкий класс объектов, используя только отношения между точками и прямыми: полярное пространство является частичным линейным пространством (P, L), таким что для каждой точки p ∈ P и каждой прямой l ∈ L множество точек на l, коллинеарных с p, является либо сингулетоном, либо всей прямой l. Конечные полярные пространства (где P является конечным множеством) также изучаются как комбинаторные объекты.
Every subspace is isomorphic to a projective space Pd(K) with −1 ≤ d ≤ (n − 1) and K a division ring. (That is, it is a Desarguesian projective geometry.) For each subspace the corresponding d is called its dimension. The intersection of two subspaces is always a subspace. For each subspace A of dimension n − 1 and each point p not in A, there is a unique subspace B of dimension n − 1 containing p and such that A ∩ B is (n − 2) dimensional. The points in A ∩ B are exactly the points of A that are in a common subspace of dimension 1 with p.
There are at least two disjoint subspaces of dimension n − 1. It is possible to define and study a slightly bigger class of objects using only relationship between points and lines: a polar space is a partial linear space (P,L), so that for each point p ∈ P and
each line l ∈ L, the set of points of l collinear to p, is either a singleton or the whole l.
Finite polar spaces (where P is a finite set) are also studied as combinatorial objects.
Обобщенные четырехугольники
Полярное пространство ранга два является обобщённым четырехугольником; в этом случае, в последнем определении, множество точек прямой, коллинеарных с точкой p, совпадает со всем пространством только если p принадлежит этому пространству. Первое определение восстанавливается из последнего при условиях, что прямые содержат более двух точек, точки лежат на более чем двух прямых, и существует прямая l и точка p, не лежащая на l, такие что p коллинеарна всем точкам прямой l.
Классификация
Жак Титс доказал, что конечное полярное пространство ранга не менее трех всегда изоморфно одному из трех типов классических полярных пространств, указанных выше. Это оставляет открытой лишь задачу классификации конечных обобщенных четырехугольников.