Кіріспе
Фазалық кеңістік арқылы жабық цикл. Динамикалық жүйелерді зерттеуде гомоклиникалық орбита – фазалық кеңістік арқылы өзіне-өзі қосылатын атқыштағы тепе-теңдік нүктесінің траекториясы. Нақтырақ айтқанда, гомоклиникалық орбита тепе-теңдіктің тұрақты және тұрақсыз көптіктерінің қиылысында орналасады. Бұл – екі кез келген тепе-теңдік нүктесі арасындағы траектория, мұнда бастапқы және соңғы нүктелер бірдей. Қарастырайық, қалыпты дифференциалдық теңдеумен сипатталатын үздіксіз динамикалық жүйе:
In the study of dynamical systems, a homoclinic orbit is a path through phase space which joins a saddle equilibrium point to itself. More precisely, a homoclinic orbit lies in the intersection of the stable manifold and the unstable manifold of an equilibrium. It is a heteroclinic orbit–a path between any two equilibrium points–in which the endpoints are one and the same. Consider the continuous dynamical system described by the ordinary differential equation
Suppose there is an equilibrium at , then a solution is a homoclinic orbit if
If the phase space has three or more dimensions, then it is important to consider the topology of the unstable manifold of the saddle point. The figures show two cases. First, when the stable manifold is topologically a cylinder, and secondly, when the unstable manifold is topologically a Möbius strip; in this case the homoclinic orbit is called twisted.
Егер тепе-теңдік нүктесі болса, онда шешім гомоклиникалық орбита болып табылады, егер:
In the study of dynamical systems, a homoclinic orbit is a path through phase space which joins a saddle equilibrium point to itself. More precisely, a homoclinic orbit lies in the intersection of the stable manifold and the unstable manifold of an equilibrium. It is a heteroclinic orbit–a path between any two equilibrium points–in which the endpoints are one and the same. Consider the continuous dynamical system described by the ordinary differential equation
Suppose there is an equilibrium at , then a solution is a homoclinic orbit if
If the phase space has three or more dimensions, then it is important to consider the topology of the unstable manifold of the saddle point. The figures show two cases. First, when the stable manifold is topologically a cylinder, and secondly, when the unstable manifold is topologically a Möbius strip; in this case the homoclinic orbit is called twisted.
Егер фазалық кеңістік үш немесе одан көп өлшемді болса, атқыштағы нүктенің тұрақсыз көптігінің топологиясын ескеру маңызды. Суреттерде екі жағдай көрсетілген: біріншіден, тұрақты көптік топологиялық тұрғыдан цилиндр болса, екіншіден, тұрақсыз көптік топологиялық тұрғыдан Мёбиус жолағы болса; осы жағдайда гомоклиникалық орбита бұрылған деп аталады.
In the study of dynamical systems, a homoclinic orbit is a path through phase space which joins a saddle equilibrium point to itself. More precisely, a homoclinic orbit lies in the intersection of the stable manifold and the unstable manifold of an equilibrium. It is a heteroclinic orbit–a path between any two equilibrium points–in which the endpoints are one and the same. Consider the continuous dynamical system described by the ordinary differential equation
Suppose there is an equilibrium at , then a solution is a homoclinic orbit if
If the phase space has three or more dimensions, then it is important to consider the topology of the unstable manifold of the saddle point. The figures show two cases. First, when the stable manifold is topologically a cylinder, and secondly, when the unstable manifold is topologically a Möbius strip; in this case the homoclinic orbit is called twisted.
Қасиеттері
Бір гомоклиникалық нүктенің болуы олардың шексіз санының бар екенін көрсетеді. Бұл оның анықтамасынан туындайды: тұрақты және тұрақсыз жиынның қиылысы. Екі жиын да анықтама бойынша өзгермейді, яғни гомоклиникалық нүктенің алға қарай итерациясы тұрақты және тұрақсыз жиынның екеуіне де жатады. N рет итерациялағанда, карта тұрақты жиын арқылы тепе-теңдік нүктесіне жақындайды, бірақ әр итерацияда ол тұрақсыз көптеге де жатады, бұл осы қасиетті көрсетеді. Осы қасиет гомоклиникалық нүктенің болуы күрделі динамикаға алып келетінін ұсынады. Шындығында, Смел (1967) осы нүктелер аттың ішегі сияқты динамикаға, яғни хаосқа байланысты екенін көрсетті.
Символикалық динамика
Марков бөлшегін қолдану арқылы гиперболалық жүйенің ұзақ мерзімді мінез-құлқы символдық динамика әдістерін пайдалану арқылы зерттелуі мүмкін. Бұл жағдайда гомоклиникалық орбита ерекше қарапайым және нақты бейнеленеді. M символдарының шекті жиыны бар делік. x нүктесінің динамикасы символдардың шексіз тізбегімен көрсетіледі. Жүйенің периодтық нүктесі – әріптердің қайталама тізбегі. Гетероклиникалық орбита – екі түрлі периодтық орбитаның бірігуі. Оны былай жазуға болады: мұнда ұзындығы k символдар тізбегі (әрине, ), ал ұзындығы m символдар тізбегі (сондай-ақ, ). Бұл жазу p санының шексіз рет қайталануын білдіреді. Осылайша, гетероклиникалық орбитаны бір периодтық орбитадан екіншісіне өту деп түсінуге болады. Ал гомоклиникалық орбитаны былай жазуға болады: аралық тізбек бос емес және, әрине, p емес, себебі онда орбита жай ғана болар еді.
A periodic point of the system is simply a recurring sequence of letters. A heteroclinic orbit is then the joining of two distinct periodic orbits. It may be written as
where is a sequence of symbols of length k, (of course, ), and is another sequence of symbols, of length m (likewise, ). The notation simply denotes the repetition of p an infinite number of times. Thus, a heteroclinic orbit can be understood as the transition from one periodic orbit to another. By contrast, a homoclinic orbit can be written as
with the intermediate sequence being non empty, and, of course, not being p, as otherwise, the orbit would simply be .