Введение

Закрытая петля в фазовом пространстве

В изучении динамических систем гомоклиническая орбита — это траектория в фазовом пространстве, соединяющая седловую точку равновесия саму с собой. Более точно, гомоклиническая орбита лежит в пересечении устойчивого многообразия и неустойчивого многообразия равновесия. Это гетероклиническая орбита — траектория между любыми двумя точками равновесия, у которой конечные точки совпадают. Рассмотрим непрерывную динамическую систему, описываемую обыкновенным дифференциальным уравнением

Предположим, что существует равновесие в точке , тогда решение является гомоклинической орбитой, если

Если фазовое пространство имеет три или более измерений, то важно учитывать топологию неустойчивого многообразия седловой точки. На рисунках показаны два случая: первый — когда устойчивое многообразие топологически является цилиндром, а второй — когда неустойчивое многообразие топологически представляет собой ленту Мёбиуса; в этом случае гомоклиническая орбита называется скрученной.

Свойства

Существование одной гомоклинической точки подразумевает существование бесконечного их числа. Это следует из определения: гомоклиническая точка – это пересечение устойчивого и неустойчивого множеств. Оба множества по определению инвариантны, что означает, что при последовательных итерациях гомоклиническая точка остается как в устойчивом, так и в неустойчивом множестве. После N итераций отображение приближается к точке равновесия по устойчивому множеству, но при каждой итерации оно также лежит на неустойчивом многообразии, что демонстрирует данное свойство. Это свойство указывает на то, что наличие гомоклинической точки приводит к возникновению сложной динамики. Действительно, Смейл (1967) показал, что эти точки порождают динамику, подобную динамике отображения подковы, которая связана с хаосом.

Символическая динамика

Используя разбиение Маркова, долгосрочное поведение гиперболической системы может быть изучено с помощью методов символической динамики. В этом случае гомоклиническая орбита имеет особенно простое и наглядное представление. Предположим, что – конечное множество из M символов. Динамика точки x тогда представляется как бесконечная последовательность символов. Периодическая точка системы – это просто повторяющаяся последовательность символов. Гетероклиническая орбита – это соединение двух различных периодических орбит. Её можно записать как , где – последовательность символов длины k (очевидно, ), а – другая последовательность символов длины m (аналогично, ). Обозначение просто обозначает бесконечное повторение p. Таким образом, гетероклиническую орбиту можно понимать как переход от одной периодической орбиты к другой. В отличие от неё, гомоклиническую орбиту можно записать как , при этом промежуточная последовательность не является пустой и, конечно, не равна p, поскольку в противном случае орбита была бы просто .