Кіріспе
Жалпы салыстырмалылық теориясындағы теорема
Голдберг-Сакс теоремасы – Эйнштейннің жалпы салыстырмалылық теориясының Эйнштейн өрісі теңдеулерінің вакуумдық шешімдері туралы, Вейль тензорының алгебралық қасиеттерімен нақты бір конгруэнттіліктің байланысын анықтайтын нәтиже. Нақтырақ айтқанда, теорема былай тұжырымдайды: Эйнштейн өрісі теңдеулерінің вакуумдық шешімі, Вейль тензоры алгебралық жағынан ерекше болған жағдайда ғана, қиылыссыз нөлдік геодезиялық конгруэнттіге ие болады. Теорема көбінесе алгебралық жағынан ерекше вакуумдық шешімдерді іздеу кезінде қолданылады.
Қалқасыз сәулелер
Жарық – бұл геодезиялық жарық сияқты қисықтардың жиыны. Яғни, жанама векторлық өріс нөлдік және геодезиялық болып табылады: және әрбір нүктеде жанама кеңістіктің 2D кеңістіктік қимасы оған ортогональды болады. Ол кешенді нөлдік вектор және оның кешенді серігімен қамтылады. Егер метрика уақыт бойынша оң болса, онда қимаға проекцияланған метрика Голдберг және Сакс осы қимадағы градиент проекциясын қарастырды. Жарық пішін өзгеріссіз сақталатын болса, онда ол серпілмейді. Көлеңке айналып, үлкейіп не кішірейіп қана қоймай, бұрмаланбайды.
Теорема
Вакуумдық метрика, , алгебралық ерекшелікке ие, егер және тек қана егер ол қисаюсыз нөлдік геодезиялық конгруэнтті қамтыса; жанама вектор қанағаттандырады. Бұл теорема бастапқыда Голдберг пен Сакспен айтылған. Олар оны жанама векторлар мен Вейль тензоры тұрғысынан тұжырымдағанмен, спинорлар тұрғысынан дәлелдеу әлдеқайда қарапайым. Ньюман-Пенроуз өріс теңдеулері Петров классификациясын зерттеу үшін табиғи аяқ береді, себебі , дәлелдеудің орнына , тек дәлелдеу жеткілікті. Бұл дәлелдер үшін бізде флагштогы қисаюсыз сәулеге бағытталған спиндік кадр бар деп есептейміз. Қисаюсыз сәуленің алгебралық ерекшелікке алып келетінін дәлелдеу: Егер сәуле геодезиялық және қисаюсыз болса, онда күрделі айналымға әсер етпейді және есептеулерді жеңілдету үшін орнатуға болады. Бірінші пайдалы NP теңдеуі , ол бірден береді. көрсету үшін, оған коммутаторды қолданыңыз. Бьянки тождестігі қажетті формулаларды береді: және осы коммутатордың алгебрасын қарастыру арқылы дәлелдеудің осы бөлігі аяқталады. Алгебралық ерекшеліктің қисаюсыз сәулеге алып келетінін дәлелдеу: дегендік дегенерациялық фактор болсын. Бұл дегенерация n есе (n=2,3,4) болуы мүмкін, бірақ дәлел функционалдық тұрғыдан бірдей болады, сондықтан оны 2 есе дегенерация деп қабылдайық. Содан кейін проекциясы. Вакуумдық кеңістіктегі Бьянки тождестігі , сондықтан проекцияға туынды қолданғанда , яғни теңдеуі шығады. Осылайша, конгруэнция қисаюсыз және дерлік геодезиялық болады: Бұл конгруэнцияны геодезиялық және осылайша қисаюсыз сәулеге айналдыратын сәйкес масштабтау бар. Векторлық өрістің қисаюы масштабтау кезінде инвариантты болады, сондықтан ол қисаюсыз болып қалады.
This is the theorem originally stated by Goldberg and Sachs. While they stated it in terms of tangent vectors and the Weyl tensor, the proof is much simpler in terms of spinors. The Newman Penrose field equations give a natural framework for investigating Petrov classifications, since instead of proving , one can just prove For these proofs, assume we have a spin frame with having its flagpole aligned with the shear free ray
Proof that a shear free ray implies algebraic specialty: If a ray is geodesic and shear free, then A complex rotation does not affect and can set to simplify calculations. The first useful NP equation is , which immediately gives
To show that , apply the commutator to it. The Bianchi identity gives the needed formulae: and Working through the algebra of this commutator will show , which completes this part of the proof. Proof that algebraic specialty implies a shear free ray: Suppose is a degenerate factor of While this degeneracy could be n fold (n=2,3,4) and the proof will be functionally the same, take it to be a 2 fold degeneracy. Then the projection The Bianchi identity in a vacuum spacetime is , so applying a derivative to the projection will give , which is equivalent to The congruence is therefore shear free and almost geodesic: A suitable rescaling of exists which will make this congruence geodesic, and thus a shear free ray. The shear of a vector field is invariant under rescaling, so it will remain shear free.
Сызықтық ауырлық
Дейн мен Мореши сәйкес теорема сызықтық гравитацияда орындалмайтынын көрсетті, яғни сызықтық Эйнштейн өрісі теңдеулерінің шешімі, қимасы жоқ нөлдік конгруенцияны қабылдаса, бұл шешім алгебралық жағынан ерекше болуы міндетті емес.