Введение
Теорема в общей теории относительности
Теорема Голдберга — Сакса — это результат в теории относительности Эйнштейна, касающийся вакуумных решений уравнений поля Эйнштейна, который устанавливает связь между существованием определенного типа конгруэнции и алгебраическими свойствами тензора Вейля. Более точно, теорема утверждает, что вакуумное решение уравнений поля Эйнштейна допускает нулевую геодезическую конгруэнцию без сдвига тогда и только тогда, когда тензор Вейля является алгебраически специальным. Теорема часто используется при поиске алгебраически специальных вакуумных решений.
Стены без сдвига
Луч — это семейство геодезических кривых, подобных световым. Это означает, что касательное векторное поле является нулевым и геодезическим: и . В каждой точке существует (не единственная) двумерная пространственная плоскость касательного пространства, ортогональная к нему. Она порождается комплексным нулевым вектором и его комплексно сопряженным. Если метрика положительно определена по времени, то метрика, спроецированная на эту плоскость, является той, проекцию градиента на которую рассматривали Голдберг и Сакс. Луч называется безсдвиговым, если интуитивно это означает, что небольшая тень, отбрасываемая лучом, сохранит свою форму. Тень может вращаться и увеличиваться/уменьшаться, но она не будет искажена.
Теорема
Вакуумная метрика, , является алгебраически специальной тогда и только тогда, когда она содержит нулевую геодезическую конгруэнтность без сдвига; тангентный вектор удовлетворяет условию . Это теорема, первоначально сформулированная Голдбергом и Саксом. Хотя они сформулировали её в терминах тангентных векторов и тензора Вейля, доказательство значительно проще в терминах спиноров. Уравнения поля Ньюмана — Пенроуза предоставляют естественную основу для исследования классификаций Петрова, поскольку вместо доказательства , можно просто доказать . Для этих доказательств предположим, что у нас есть спиновый кадр с его флагштоком, выровненным с лучом без сдвига. Доказательство того, что луч без сдвига подразумевает алгебраическую специальность: если луч геодезический и без сдвига, то комплексное вращение не влияет на и может быть установлено для упрощения вычислений. Первое полезное уравнение NP — , которое сразу дает . Чтобы показать, что , применим к нему коммутатор . Тождество Бьянки дает необходимые формулы: и , выполняя алгебраические преобразования этого коммутатора, мы получим , что завершает эту часть доказательства. Доказательство того, что алгебраическая специальность подразумевает луч без сдвига: предположим, что является вырожденным фактором . Хотя эта вырожденность может быть n-кратной (n = 2, 3, 4) и доказательство будет функционально одинаковым, рассмотрим случай двукратной вырожденности. Тогда проекция . Тождество Бьянки в вакуумном пространстве-времени имеет вид , поэтому применение производной к проекции даст , что эквивалентно . Следовательно, конгруэнтность свободна от сдвига и почти геодезическая: существует подходящее масштабирование, которое сделает эту конгруэнтность геодезической, и, таким образом, лучом без сдвига. Сдвиг векторного поля инвариантен относительно масштабирования, поэтому он останется без сдвига.
This is the theorem originally stated by Goldberg and Sachs. While they stated it in terms of tangent vectors and the Weyl tensor, the proof is much simpler in terms of spinors. The Newman Penrose field equations give a natural framework for investigating Petrov classifications, since instead of proving , one can just prove For these proofs, assume we have a spin frame with having its flagpole aligned with the shear free ray
Proof that a shear free ray implies algebraic specialty: If a ray is geodesic and shear free, then A complex rotation does not affect and can set to simplify calculations. The first useful NP equation is , which immediately gives
To show that , apply the commutator to it. The Bianchi identity gives the needed formulae: and Working through the algebra of this commutator will show , which completes this part of the proof. Proof that algebraic specialty implies a shear free ray: Suppose is a degenerate factor of While this degeneracy could be n fold (n=2,3,4) and the proof will be functionally the same, take it to be a 2 fold degeneracy. Then the projection The Bianchi identity in a vacuum spacetime is , so applying a derivative to the projection will give , which is equivalent to The congruence is therefore shear free and almost geodesic: A suitable rescaling of exists which will make this congruence geodesic, and thus a shear free ray. The shear of a vector field is invariant under rescaling, so it will remain shear free.
Линейная гравитация
Дейном и Мореши показали, что соответствующая теорема не выполняется в линеаризованной гравитации, то есть, если задано решение линеаризованных уравнений поля Эйнштейна, допускающее нулевую конгруэнцию без сдвига, то это решение не обязательно является алгебраически специальным.