Кіріспе
Математикада субкомпакт кардинал – белгілі бір үлкен кардинал сан. Кардинал сан κ субкомпактты, егер және тек қана егер әр A ⊆ H(κ+) үшін j: (H(μ+), B) → (H(κ+), A) элементарлық кіріктірілісі болса (мұнда H(κ+) – κ+-дан мұрагерлік кардиналдығы төмен барлық жиындар жиыны), μ – сындық нүктесі және j(μ) = κ. Сол сияқты, κ квазикомпакт кардинал, егер және тек қана егер әр A ⊆ H(κ+) үшін j: (H(κ+), A) → (H(μ+), B) элементарлық кіріктірілісі болса, μ – сындық нүктесі және j(κ) = μ. H(λ) – транзитивті жабылуы λ-дан төмен кардиналдыққа ие барлық жиындардан тұрады. Кез келген квазикомпакт кардинал субкомпакт болып табылады. Квазикомпакттылық – субкомпакттылықты күшейту болып табылады, себебі ол үлкен кардиналдық қасиеттерді жоғарыға проекциялайды. Бұл қатынас кеңейтілетін және суперкомпакт кардиналдарға ұқсас. Квазикомпакттылықты 1-кеңейтілімділіктің күшейтілген немесе «көшірмелі» түрі ретінде қарастыруға болады. Субкомпакт кардиналдардың болуы көптеген 1-кеңейтілімді кардиналдардың болуын білдіреді, демек, көптеген суперкүшті кардиналдардың болуын. 2κ суперкомпакт кардиналдың болуы көптеген квазикомпакт кардиналдардың бар екенін білдіреді. Субкомпакт кардиналдар квадрат принципінің бұзылуын көрсететін ең кішкентай үлкен кардиналдар ретінде ерекшеленеді. Егер κ субкомпакт болса, онда квадрат принципі κ-да бұзылады. Канондық ішкі модельдер субкомпакт кардиналдар деңгейінде квадрат принципін қанағаттандырады, бірақ субкомпакт емес кардиналдарда қанағаттандырмайды. (Мұндай модельдердің бар екендігі әлі дәлелденбеген, бірақ кез келген жағдайда квадрат принципін әлсіз кардиналдар үшін күштеуге болады.) Квазикомпакттылық – ұзақ кеңейткіштерді қолданбайтын қазіргі ішкі модельдерде байқалатын ең күшті үлкен кардиналдық қасиеттердің бірі. Қазіргі ішкі модельдер үшін элементарлық кіріктірулер олардың P(κ)-ға әсерімен анықталады (кіріктіру енгізілген кезеңде есептелген), мұнда κ – сындық нүкте. Бұл оларға тіпті κ+ күшті компакт кардинал κ-ны көруге кедергі келтіреді. Субкомпакт және квазикомпакт кардиналдарды Рональд Дженсен анықтады.
Analogously, κ is a quasicompact cardinal if and only if for every A ⊂ H(κ+) there is a non trivial elementary embedding j:(H(κ+), A) → (H(μ+), B) with critical point κ and j(κ) = μ.
H(λ) consists of all sets whose transitive closure has cardinality less than λ. Every quasicompact cardinal is subcompact. Quasicompactness is a strengthening of subcompactness in that it projects large cardinal properties upwards. The relationship is analogous to that of extendible versus supercompact cardinals. Quasicompactness may be viewed as a strengthened or "boldface" version of 1 extendibility. Existence of subcompact cardinals implies existence of many 1 extendible cardinals, and hence many superstrong cardinals. Existence of a 2κ supercompact cardinal κ implies existence of many quasicompact cardinals. Subcompact cardinals are noteworthy as the least large cardinals implying a failure of the square principle. If κ is subcompact, then the square principle fails at κ. Canonical inner models at the level of subcompact cardinals satisfy the square principle at all but subcompact cardinals. (Existence of such models has not yet been proved, but in any case the square principle can be forced for weaker cardinals.) Quasicompactness is one of the strongest large cardinal properties that can be witnessed by current inner models that do not use long extenders. For current inner models, the elementary embeddings included are determined by their effect on P(κ) (as computed at the stage the embedding is included), where κ is the critical point. This prevents them from witnessing even a κ+ strongly compact cardinal κ. Subcompact and quasicompact cardinals were defined by Ronald Jensen.