Введение

В математике субкомпактный кардинал — это определенный вид большого кардинального числа. Кардинальное число κ является субкомпактным тогда и только тогда, когда для каждого A ⊆ H(κ+) существует нетривиальное элементарное вложение j: (H(μ+), B) → (H(κ+), A) (где H(κ+) — это множество всех множеств кардинальности, наследственно меньшей, чем κ+) с критической точкой μ и j(μ) = κ.

Аналогично, κ является квазикомпактным кардиналом тогда и только тогда, когда для каждого A ⊆ H(κ+) существует нетривиальное элементарное вложение j: (H(κ+), A) → (H(μ+), B) с критической точкой κ и j(κ) = μ.

H(λ) состоит из всех множеств, чье транзитивное замыкание имеет кардинальность меньше λ. Каждый квазикомпактный кардинал является субкомпактным. Квазикомпактность является усилением субкомпактности в том смысле, что она проецирует большие кардинальные свойства вверх. Отношение аналогично отношению между расширяемыми и сверхкомпактными кардиналами. Квазикомпактность можно рассматривать как усиленную или "выделенную" версию 1-расширяемости. Существование субкомпактных кардиналов подразумевает существование многих 1-расширяемых кардиналов, а следовательно, и многих сверхсильных кардиналов. Существование 2κ-сверхкомпактного кардинала κ подразумевает существование многих квазикомпактных кардиналов. Субкомпактные кардиналы примечательны как наименьшие большие кардиналы, подразумевающие нарушение принципа квадрата. Если κ субкомпактный, то принцип квадрата нарушается при κ. Канонические внутренние модели на уровне субкомпактных кардиналов удовлетворяют принципу квадрата для всех кардиналов, кроме субкомпактных. (Существование таких моделей еще не доказано, но в любом случае принцип квадрата может быть принудительно выполнен для более слабых кардиналов.) Квазикомпактность является одним из самых сильных больших кардинальных свойств, которые могут быть подтверждены текущими внутренними моделями, не использующими длинные удлинители. Для текущих внутренних моделей элементарные вложения определяются их влиянием на P(κ) (как вычисляется на этапе включения вложения), где κ — критическая точка. Это не позволяет им подтвердить даже κ+-сильно компактный кардинал κ. Субкомпактные и квазикомпактные кардиналы были определены Рональдом Дженсеном.