Кіріспе
Математикалық ұғым. Математикада, жақын өріс – екі тарату заңының біреуін ғана қанағаттандыратын бөлу сақинасына ұқсас алгебралық құрылым. Басқаша айтқанда, жақын өріс – көбейту бірлігі бар және нөлдік емес әрбір элементі көбейтуге кері элементі бар жақын сақина.
In mathematics, a near field is an algebraic structure similar to a division ring, except that it has only one of the two distributive laws. Alternatively, a near field is a near ring in which there is a multiplicative identity and every non zero element has a multiplicative inverse.
Мысалдар
Кез келген бөліну сақинасы (барлық өрісті қоса алғанда) жақын өріс болып табылады. Келесі 9-ретті (оң жақты) жақын өрісті анықтайды. Бұл өріс емес жақын өрістің ең кішкентай реті. 9-реттік Галуа өрісін деп белгілейік. өрісіндегі көбейтуді ' арқылы белгілейміз. Жаңа екілік амал ' · ' былай анықталады:
Егер өрістің квадраты болатын кез келген элементі және өрістің кез келген элементі болса, онда . Егер өрістің квадраты емес кез келген элементі және өрістің кез келген элементі болса, онда . Осы жаңа көбейту және бұрынғыдай қосылу арқылы жақын өріс болады.
If is any element of which is a square and is any element of then If is any element of which is not a square and is any element of then Then is a near field with this new multiplication and the same addition as before.
Тарих және қолдану
Жақын өріс ұғымын алғаш рет Леонард Диксон 1905 жылы енгізді. Ол бөліну сақиналарын алып, олардың көбейтуін өзгертті, ал қосуды өзгеріссіз қалдырды, осылайша бөліну сақиналары емес жақын өрістердің алғашқы белгілі мысалдарын жасады. Бұл әдіспен алынған жақын өрістер Диксон жақын өрістері деп аталады; жоғарыда келтірілген 9-ретті жақын өріс – Диксон жақын өрісі болып табылады. Ханс Зассенхаус 7-ден басқа барлық шекті жақын өрістер өрістер немесе Диксон жақын өрістері екенін дәлелдеді. Көптеген проективтік геометрияларды бөліну сақинасы арқылы координаталар жүйесі ретінде анықтауға болады, бірақ басқаларын анықтау мүмкін емес. Кез келген жақын сақинадан координаталарға рұқсат ету арқылы координаталармен сипатталатын геометриялардың ауқымы кеңейтілді. Мысалы, Маршалл Холл жоғарыда келтірілген 9-ретті жақын өрісті Холл жазықтығын жасау үшін пайдаланды, бұл Диксон жақын өрістерінің квадраты түріндегі жазықтықтар тізбегінің біріншісі болды. 1971 жылы Т. Г. Рум және П. Б. Киркпатрик баламалы дамуды ұсынды. Көптеген басқа қолданыстар бар, көбінесе геометрия саласында. Жақын өрістердің соңғы қолданылуы – Hill шифрлары сияқты деректерді шифрлау үшін шифрларды құруда.
Фробен тобы мен топ автоморфизмдері бойынша сипаттама
Жақын салада болсын. Оның көбейту тобы және оның қосу тобы болсын. Жақын саладағы аксиомалар бұл топтық автоматтар арқылы оң топтық әрекет екенін көрсетеді, ал нөлден өзге элементтер тривиальды тұрақтандырғышы бар бір ғана орбитаны құрайды. Керісінше, егер - абел тобы болса және - оның нөлден өзге элементтеріне еркін және транзитивті әрекет ететін - тобының кіші тобы болса, онда біз қосымша тобы - және көбейту тобы болатын жақын саланы анықтай аламыз. - ішіндегі бір элементті таңдап, оны деп атаймыз, ал - биекция болсын. Содан кейін біз қосуды - тобының қосымша құрылымы арқылы анықтаймыз және көбейтуді былай анықтаймыз. Фробен тобы - бұл формадағы шекті топ ретінде анықталады, мұнда ол нөлден өзге элементтерге тұрақтандырғышсыз әрекет етеді. Сондықтан, жақын салалар мен Фробен топтары арасында - жағдайында бір-бірге сәйкестік бар.
A Frobenius group can be defined as a finite group of the form where acts without stabilizer on the nonzero elements of Thus, near fields are in bijection with Frobenius groups where .
Жіктеу
Жоғарыда айтылғандай, Зассенхаус барлық шекті жақын өрістер Диксонның құрылысынан туындайтынын немесе жеті ерекше мысалдың бірі екенін дәлелдеді. Біз бұл жіктемені жұптарды беру арқылы сипаттаймыз, мұнда – абельдік топ, ал – топ автоморфизмдері, ол –нің нөлдік емес элементтерінде еркін және транзитивті әрекет етеді.
The construction of Dickson proceeds as follows. Let be a prime power and choose a positive integer such that all prime factors of divide and, if , then is not divisible by Let be the finite field of order and let be the additive group of The multiplicative group of , together with the Frobenius automorphism generate a group of automorphisms of of the form , where is the cyclic group of order The divisibility conditions on allow us to find a subgroup of of order which acts freely and transitively on The case is the case of commutative finite fields; the nine element example above is ,
In the seven exceptional examples, is of the form This table, including the numbering by Roman numerals, is taken from Zassenhaus's paper. Generators for Description(s) of I , the binary tetrahedral group. II III , the binary octahedral group. IV V , the binary icosahedral group. VI VII
The binary tetrahedral, octahedral and icosahedral groups are central extensions of the rotational symmetry groups of the platonic solids; these rotational symmetry groups are , and respectively. and can also be described as and .
Диксонның құрылысы былай жүреді. –ді жай санның дәрежесі ретінде таңдап, –нің барлық жай көбейткіштері –ді бөлетіндей оң бүтін санды таңдаңыз, және егер – болса, онда – бөлінбейді. –ді – ретті шекті өріс, ал –ді оның қосымша тобы ретінде қарастырайық. –нің көбейту тобы, Фробен автоморфизмімен бірге, –нің түріндегі автоморфизмдер тобын тудырады, мұнда – ретті циклдік топ. –ға қойылған бөліну шарттары бізге –нің – ретті кіші тобын табуға мүмкіндік береді, ол еркін және транзитивті әрекет етеді. – жағдайы коммутативтік шекті өрістер жағдайы; жоғарыда келтірілген тоғыз элементті мысал –. Жеті ерекше мысалда – формасында болады. Бұл кесте, римдік цифрлармен нөмірлеуді қоса алғанда, Зассенхаус еңбегінен алынған.
The construction of Dickson proceeds as follows. Let be a prime power and choose a positive integer such that all prime factors of divide and, if , then is not divisible by Let be the finite field of order and let be the additive group of The multiplicative group of , together with the Frobenius automorphism generate a group of automorphisms of of the form , where is the cyclic group of order The divisibility conditions on allow us to find a subgroup of of order which acts freely and transitively on The case is the case of commutative finite fields; the nine element example above is ,
In the seven exceptional examples, is of the form This table, including the numbering by Roman numerals, is taken from Zassenhaus's paper. Generators for Description(s) of I , the binary tetrahedral group. II III , the binary octahedral group. IV V , the binary icosahedral group. VI VII
The binary tetrahedral, octahedral and icosahedral groups are central extensions of the rotational symmetry groups of the platonic solids; these rotational symmetry groups are , and respectively. and can also be described as and .
I. Бинарлық тетраэдрлік топтың генераторлары және сипаттамасы.
II.
III. Бинарлық октаэдрлік топ.
IV.
V. Бинарлық икосаэдрлік топ.
VI.
VII.
The construction of Dickson proceeds as follows. Let be a prime power and choose a positive integer such that all prime factors of divide and, if , then is not divisible by Let be the finite field of order and let be the additive group of The multiplicative group of , together with the Frobenius automorphism generate a group of automorphisms of of the form , where is the cyclic group of order The divisibility conditions on allow us to find a subgroup of of order which acts freely and transitively on The case is the case of commutative finite fields; the nine element example above is ,
In the seven exceptional examples, is of the form This table, including the numbering by Roman numerals, is taken from Zassenhaus's paper. Generators for Description(s) of I , the binary tetrahedral group. II III , the binary octahedral group. IV V , the binary icosahedral group. VI VII
The binary tetrahedral, octahedral and icosahedral groups are central extensions of the rotational symmetry groups of the platonic solids; these rotational symmetry groups are , and respectively. and can also be described as and .
Бинарлық тетраэдрлік, октаэдрлік және икосаэдрлік топтар – платондық денелердің айналу симметриясы топтарының орталық кеңейтулері; бұл айналу симметриясы топтары сәйкесінше – және –. Сондай-ақ, – және – деп сипаттауға болады.
The construction of Dickson proceeds as follows. Let be a prime power and choose a positive integer such that all prime factors of divide and, if , then is not divisible by Let be the finite field of order and let be the additive group of The multiplicative group of , together with the Frobenius automorphism generate a group of automorphisms of of the form , where is the cyclic group of order The divisibility conditions on allow us to find a subgroup of of order which acts freely and transitively on The case is the case of commutative finite fields; the nine element example above is ,
In the seven exceptional examples, is of the form This table, including the numbering by Roman numerals, is taken from Zassenhaus's paper. Generators for Description(s) of I , the binary tetrahedral group. II III , the binary octahedral group. IV V , the binary icosahedral group. VI VII
The binary tetrahedral, octahedral and icosahedral groups are central extensions of the rotational symmetry groups of the platonic solids; these rotational symmetry groups are , and respectively. and can also be described as and .