Введение
Математическое понятие. В математике, почти поле — это алгебраическая структура, подобная телу, за исключением того, что она удовлетворяет только одному из двух законов дистрибутивности. Альтернативно, почти поле — это почти кольцо, в котором существует единичный элемент и каждый ненулевой элемент имеет обратный по умножению.
In mathematics, a near field is an algebraic structure similar to a division ring, except that it has only one of the two distributive laws. Alternatively, a near field is a near ring in which there is a multiplicative identity and every non zero element has a multiplicative inverse.
Примеры
Любое кольцо с делением (включая любое поле) является близким полем. Ниже приводится определение (правого) близкого поля порядка 9. Это наименьшее близкое поле, которое не является полем. Пусть GF(9) – поле Галуа порядка 9. Обозначим умножение в GF(9) через ' '. Определим новую бинарную операцию ' · ' следующим образом:
Если α – любой элемент GF(9), являющийся квадратом, и β – любой элемент GF(9), то α · β = β. Если α – любой элемент GF(9), не являющийся квадратом, и β – любой элемент GF(9), то α · β = α.
Тогда GF(9) с этим новым умножением и прежним сложением является близким полем.
If is any element of which is a square and is any element of then If is any element of which is not a square and is any element of then Then is a near field with this new multiplication and the same addition as before.
История и применение
Концепция близкого поля была впервые введена Леонардом Диксоном в 1905 году. Он брал кольца деления и модифицировал их умножение, оставляя сложение без изменений, и таким образом получил первые известные примеры близких полей, которые не являлись кольцами деления. Близкие поля, полученные этим методом, известны как близкие поля Диксона; близкое поле порядка 9, приведенное выше, является близким полем Диксона. Ханс Зассенхаус доказал, что все, кроме 7 конечных близких полей, являются либо полями, либо близкими полями Диксона. Многие проективные геометрии могут быть определены с использованием системы координат над кольцом деления, но другие – нет. Было обнаружено, что допущение координат из любого близкого кольца расширяет диапазон геометрий, для которых возможно построение системы координат. Например, Маршалл Холл использовал близкое поле порядка 9, приведенное выше, для построения плоскости Холла, первой в последовательности таких плоскостей, основанных на близких полях Диксона порядка квадрата простого числа. В 1971 году Т. Г. Рум и П. Б. Киркпатрик предложили альтернативную разработку. Существует множество других применений, в основном в геометрии. Более современное применение близких полей – в построении шифров для шифрования данных, таких как шифры Хилла.
Описание с точки зрения групп Фробена и групповых автоморфизмов
Пусть будет почти полем. Пусть является его мультипликативной группой, а является его аддитивной группой. Аксиомы почти поля показывают, что это правое групповое действие групповыми автоморфизмами , и ненулевые элементы образуют единственную орбиту с тривиальным стабилизатором. И наоборот, если является абелевой группой и является подгруппой, которая действует свободно и транзитивно на ненулевые элементы , то мы можем определить почти поле с аддитивной группой и мультипликативной группой. Выберем элемент в и назовем его , и пусть является биекцией. Затем мы определяем сложение на структурой аддитивной группы , а умножение определяем как . Фробениеву группу можно определить как конечную группу вида , где действует без стабилизатора на ненулевые элементы . Таким образом, почти поля находятся во взаимно однозначном соответствии с группами Фробениуса, где .
A Frobenius group can be defined as a finite group of the form where acts without stabilizer on the nonzero elements of Thus, near fields are in bijection with Frobenius groups where .
Классификация
Как упоминалось выше, Зассенхаус доказал, что все конечные почти поля либо возникают из построения Диксона, либо являются одним из семи исключительных примеров. Мы опишем эту классификацию, приводя пары (G, Aut(G)), где G — абелева группа, а Aut(G) — группа автоморфизмов G, действующая свободно и транзитивно на ненулевые элементы G.
The construction of Dickson proceeds as follows. Let be a prime power and choose a positive integer such that all prime factors of divide and, if , then is not divisible by Let be the finite field of order and let be the additive group of The multiplicative group of , together with the Frobenius automorphism generate a group of automorphisms of of the form , where is the cyclic group of order The divisibility conditions on allow us to find a subgroup of of order which acts freely and transitively on The case is the case of commutative finite fields; the nine element example above is ,
In the seven exceptional examples, is of the form This table, including the numbering by Roman numerals, is taken from Zassenhaus's paper. Generators for Description(s) of I , the binary tetrahedral group. II III , the binary octahedral group. IV V , the binary icosahedral group. VI VII
The binary tetrahedral, octahedral and icosahedral groups are central extensions of the rotational symmetry groups of the platonic solids; these rotational symmetry groups are , and respectively. and can also be described as and .
Построение Диксона происходит следующим образом. Пусть q — степень простого числа p, и выберите положительное целое число n такое, что все простые делители n делят q, и, если n > 1, то p не делит n. Пусть F_q — конечное поле порядка q, а G — аддитивная группа F_q. Мультипликативная группа F_q, вместе с автоморфизмом Фробениуса, порождают группу автоморфизмов G вида x -> x^q, где q — порядок циклической группы. Условия делимости на n позволяют нам найти подгруппу порядка n в G, которая действует свободно и транзитивно на G. Случай n = 1 соответствует коммутативным конечным полям; девятиэлементный пример выше — GF(9).
The construction of Dickson proceeds as follows. Let be a prime power and choose a positive integer such that all prime factors of divide and, if , then is not divisible by Let be the finite field of order and let be the additive group of The multiplicative group of , together with the Frobenius automorphism generate a group of automorphisms of of the form , where is the cyclic group of order The divisibility conditions on allow us to find a subgroup of of order which acts freely and transitively on The case is the case of commutative finite fields; the nine element example above is ,
In the seven exceptional examples, is of the form This table, including the numbering by Roman numerals, is taken from Zassenhaus's paper. Generators for Description(s) of I , the binary tetrahedral group. II III , the binary octahedral group. IV V , the binary icosahedral group. VI VII
The binary tetrahedral, octahedral and icosahedral groups are central extensions of the rotational symmetry groups of the platonic solids; these rotational symmetry groups are , and respectively. and can also be described as and .
В семи исключительных примерах G имеет вид, указанный в таблице ниже. Эта таблица, включая нумерацию римскими цифрами, взята из работы Зассенхауса.
The construction of Dickson proceeds as follows. Let be a prime power and choose a positive integer such that all prime factors of divide and, if , then is not divisible by Let be the finite field of order and let be the additive group of The multiplicative group of , together with the Frobenius automorphism generate a group of automorphisms of of the form , where is the cyclic group of order The divisibility conditions on allow us to find a subgroup of of order which acts freely and transitively on The case is the case of commutative finite fields; the nine element example above is ,
In the seven exceptional examples, is of the form This table, including the numbering by Roman numerals, is taken from Zassenhaus's paper. Generators for Description(s) of I , the binary tetrahedral group. II III , the binary octahedral group. IV V , the binary icosahedral group. VI VII
The binary tetrahedral, octahedral and icosahedral groups are central extensions of the rotational symmetry groups of the platonic solids; these rotational symmetry groups are , and respectively. and can also be described as and .
Генераторы для G | Описание G
------- | --------
I | Двоичная тетраэдрическая группа.
II |
III | Двоичная октаэдрическая группа.
IV |
V | Двоичная икосаэдрическая группа.
VI |
VII |
The construction of Dickson proceeds as follows. Let be a prime power and choose a positive integer such that all prime factors of divide and, if , then is not divisible by Let be the finite field of order and let be the additive group of The multiplicative group of , together with the Frobenius automorphism generate a group of automorphisms of of the form , where is the cyclic group of order The divisibility conditions on allow us to find a subgroup of of order which acts freely and transitively on The case is the case of commutative finite fields; the nine element example above is ,
In the seven exceptional examples, is of the form This table, including the numbering by Roman numerals, is taken from Zassenhaus's paper. Generators for Description(s) of I , the binary tetrahedral group. II III , the binary octahedral group. IV V , the binary icosahedral group. VI VII
The binary tetrahedral, octahedral and icosahedral groups are central extensions of the rotational symmetry groups of the platonic solids; these rotational symmetry groups are , and respectively. and can also be described as and .
Двоичные тетраэдрические, октаэдрические и икосаэдрические группы являются центральными расширениями групп вращательной симметрии платоновых тел; эти группы вращательной симметрии — A_4, S_4 и A_5 соответственно. A_4 и S_4 также могут быть описаны как GL(3,2) и Sym(4) соответственно.
The construction of Dickson proceeds as follows. Let be a prime power and choose a positive integer such that all prime factors of divide and, if , then is not divisible by Let be the finite field of order and let be the additive group of The multiplicative group of , together with the Frobenius automorphism generate a group of automorphisms of of the form , where is the cyclic group of order The divisibility conditions on allow us to find a subgroup of of order which acts freely and transitively on The case is the case of commutative finite fields; the nine element example above is ,
In the seven exceptional examples, is of the form This table, including the numbering by Roman numerals, is taken from Zassenhaus's paper. Generators for Description(s) of I , the binary tetrahedral group. II III , the binary octahedral group. IV V , the binary icosahedral group. VI VII
The binary tetrahedral, octahedral and icosahedral groups are central extensions of the rotational symmetry groups of the platonic solids; these rotational symmetry groups are , and respectively. and can also be described as and .