Кіріспе
Математикада жүйе (немесе пи жүйесі) – жиынның белгілі бір кіші жиындықтарының жиыны, мұнда жиын бос емес. Егер болса, онда ол бос емес шекті қиылыстар бойынша жабық кіші жиындықтардың бос емес отбасы болып табылады. Яғни, жүйе – жиынның бос емес кіші жиындықтарының отбасы, ол бос емес шекті қиылыстар бойынша жабық. Жүйелердің маңыздылығы сонда, егер екі ықтималдық шара жүйеде келіссе, онда олар сол жүйе арқылы құрылған алгебрада да келіседі. Сонымен қатар, егер интегралдардың теңдігі сияқты басқа да қасиеттер жүйе үшін орындалса, онда олар құрылған алгебра үшін де орындалады. Бұл қасиетке ие кіші жиындықтар жиыны жүйе болғанда ғана орындалады. Жүйелер кездейсоқ шамалардың тәуелсіздігін тексеру үшін де пайдалы. Бұл ыңғайлы, себебі тәжірибеде жүйелермен жұмыс істеу алгебраға қарағанда көбінесе оңайырақ болады. Мысалы, шексіз көп жиындар арқылы құрылған алгебралармен жұмыс істеу қиын болуы мүмкін. Сондықтан біз шексіз көп жиындар арқылы құрылған алгебралардың бірігуін қарастырамыз. Бұл қажетті алгебраны құрайтын жүйеге айналады. Тағы бір мысал – бос жиынмен бірге нақты түзудің барлық интервалдарының жиыны, ол нақты түзудің кіші жиындықтарының маңызды Борел алгебрасын құрайтын жүйе болып табылады.
In mathematics, a system (or pi system) on a set is a collection of certain subsets of such that
is non empty. If then
That is, is a non empty family of subsets of that is closed under non empty finite intersections. The importance of systems arises from the fact that if two probability measures agree on a system, then they agree on the algebra generated by that system. Moreover, if other properties, such as equality of integrals, hold for the system, then they hold for the generated algebra as well. This is the case whenever the collection of subsets for which the property holds is a system. systems are also useful for checking independence of random variables. This is desirable because in practice, systems are often simpler to work with than algebras. For example, it may be awkward to work with algebras generated by infinitely many sets So instead we may examine the union of all algebras generated by finitely many sets This forms a system that generates the desired algebra. Another example is the collection of all intervals of the real line, along with the empty set, which is a system that generates the very important Borel algebra of subsets of the real line.
Тәуелсіз кездейсоқ айнымалылар
Жүйелік теория ықтималдық тәуелсіздік ұғымында маңызды рөл атқарады. Егер және екі кездейсоқ айнымалы бірдей ықтималдық кеңістігінде анықталған болса, онда кездейсоқ айнымалылар тәуелсіз болады, егер және тек қана олардың жүйелері барлық және үшін орындалса:
яғни, және тәуелсіз. Бұл, шындығында, таралуын анықтау үшін жүйелерді қолданудың ерекше жағдайы болып табылады.