Введение

Семья множеств, замкнутых относительно пересечения

В математике система (или π-система) на множестве представляет собой коллекцию определенных подмножеств такого, что

не является пустой. Если , то

То есть, это непустое семейство подмножеств , замкнутое относительно непустых конечных пересечений. Важность π-систем обусловлена тем фактом, что если две меры вероятности совпадают на π-системе, то они совпадают и на σ-алгебре, порожденной этой системой. Более того, если другие свойства, такие как равенство интегралов, выполняются для π-системы, то они выполняются и для порожденной σ-алгебры. Это справедливо, когда множество подмножеств, для которых выполняется свойство, является π-системой. π-системы также полезны для проверки независимости случайных величин. Это желательно, поскольку на практике с π-системами часто проще работать, чем с σ-алгебрами. Например, может быть неудобно работать с σ-алгебрами, порожденными бесконечным множеством множеств. Поэтому вместо этого можно рассмотреть объединение всех σ-алгебр, порожденных конечным множеством множеств. Это образует π-систему, которая порождает желаемую σ-алгебру. Другой пример – это коллекция всех интервалов вещественной прямой вместе с пустым множеством, которая является π-системой, порождающей очень важную σ-алгебру Бореля подмножеств вещественной прямой.

Независимые случайные переменные

Теория систем играет важную роль в вероятностном понятии независимости. Если X и Y – две случайные величины, определенные на одном и том же вероятностном пространстве Ω, то случайные величины независимы тогда и только тогда, когда их системы {X ≤ x} и {Y ≤ y} удовлетворяют условию P({X ≤ x} ∩ {Y ≤ y}) = P({X ≤ x})P({Y ≤ y}) для всех x и y, что означает, что X и Y независимы. Фактически, это частный случай использования систем событий для определения распределения вероятностей.