Кіріспе

Екі нөлден өзге элементтің көбейтіндісі нөлден өзге болады, ал нөлдің көбейтіндісі нөлге тең болады.

Алгебрада нөлдік көбейтінді қасиеті екі нөлден өзге элементтің көбейтіндісі нөлден өзге болады деп күмәнсіз тұжырымдайды. Басқаша айтқанда,

Бұл қасиет нөлдік көбейтінді ережесі, нөлдік фактор заңы, нөлдің көбейту қасиеті, тривиальды емес нөлдік бөлгіштердің болмауы немесе нөлдік факторлардың екі қасиетінің бірі ретінде де белгілі. Элементар математикада зерттелетін барлық сандар жүйесі – бүтін сандар, рационал сандар, нақты сандар және кешенді сандар – нөлдік көбейтінді қасиетін қанағаттандырады. Жалпы алғанда, нөлдік көбейтінді қасиетін қанағаттандыратын сақина домен деп аталады.

Алгебралық контекст

Алгебралық құрылым деп есептейік. Бұл құрылымда нөлдік көбейту қасиеті бар ма деген сұрақ туындайды. Бұл сұрақтың мағынасы болуы үшін, құрылымда қосу және көбейту операциялары анықталған болуы керек. Көбінесе, бұл құрылым сақина деп қарастырылады, бірақ ол басқа да болуы мүмкін, мысалы, қалыпты қосу және көбейтумен теріс емес бүтін сандар жиыны, ол тек (коммутативтік) жартылай сақина болып табылады. Егер құрылым нөлдік көбейту қасиетін қанағаттандырса, және егер - сол құрылымның ішкі жиыны болса, онда де нөлдік көбейту қасиетін қанағаттандырады: егер және - жиынындағы элементтер болса және , онда немесе болуы керек, өйткені және де жиынының элементтері ретінде қарастырылуы мүмкін.

Мысалдар

Нөлдік көбейту қасиеті орындалатын сақина домен деп аталады. Көбейтуге қатысты бірлік элементі бар коммутативті домен интегралды домен деп аталады. Кез келген өріс интегралды домен болып табылады; шындығында, өрістің кез келген ішкі сақинасы (ішінде 1 болған жағдайда) интегралды домен болып табылады. Сол сияқты, қисайған өрістің кез келген ішкі сақинасы домен болып табылады. Осылайша, нөлдік көбейту қасиеті қисайған өрістің кез келген ішкі сақинасы үшін орындалады. Егер p жай сан болса, онда p-модуль бойынша бүтін сандар сақинасы нөлдік көбейту қасиетіне ие (әсіресе, ол өріс болып табылады). Гаусс бүтін сандары интегралды домен болып табылады, себебі олар кешенді сандардың ішкі сақинасы болып табылады. Квартерниондардың қатаң қисайған өрісінде нөлдік көбейту қасиеті сақталады. Бұл сақина интегралды домен емес, өйткені көбейту коммутативті емес. Теріс емес бүтін сандар жиыны сақина емес (бірақ жартылай сақина), алайда ол нөлдік көбейту қасиетін қанағаттандырады.

Үлгі емес

Let - қалдық бойынша бүтін сандар сақинасын білдіреді. Онда нөлдік көбейту қасиеті орындалмайды: 2 және 3 нөлдік емес элементтер, бірақ . Жалпы алғанда, егер - жай сан емес болса, онда нөлдік көбейту қасиеті орындалмайды. Яғни, егер , онда және нөлдік емес, бірақ . 2×2 матрицалардың бүтін сандық элементтерінен құралған сақина нөлдік көбейту қасиетін орындамайды: егер және болса, онда , бірақ ешқайсысы да нөл емес. [0,1] кесіндісінен нақты сандарға дейінгі барлық функциялар сақинасында нөлдік бөлгіштер бар: нөлге тең емес екі функцияның көбейтіндісі нөлдік функцияны құрайды. Шындығында, кез келген n ≥ 2 үшін, ешқайсысы да толыққанды нөлге тең емес, сондай-ақ кез келген үшін нөлдік болатын функцияларды құру оңай. Біз үздіксіз функцияларды немесе тіпті шексіз тегіс функцияларды қарастырғанда да осы жағдай сақталады. Ал аналитикалық функциялар нөлдік көбейту қасиетіне ие.

Көптамалардың түбірлерін табуға қолдану

Егер және нақты коэффициенттері бар бірмүшелі көпмүшелер болсын, ал – нақты сан болсын, олай болса (әдетте, коэффициенттер мен сандары кез келген интегралды доменнен алынуы мүмкін). Көбейтіндінің нөлге теңдігі қасиеті бойынша, немесе болады. Басқаша айтқанда, көпмүшесінің түбірлері – көпмүшесінің түбірлері және көпмүшесінің түбірлерінің жиынтығынан тұрады. Осылайша, көпмүшелерді көбейткіштерге жіктеу арқылы көпмүшелердің түбірлерін табуға болады. Мысалы, көпмүшесі келесідей көбейткіштерге жіктеледі: ; демек, оның түбірлері – 3, 1 және -2. Жалпы алғанда, егер – интегралды домен болса және – дәрежесі n болатын, коэффициенттері – доменде жатқан мононды бірмүшелі көпмүше болсын. Сондай-ақ, көпмүшесінің n түрлі түбірі бар делік. Бұдан (бірақ біз бұл жерде дәлелдемейміз) келесі шығады: Көбейтіндінің нөлге теңдігі қасиетінен, көпмүшесінің кез келген түбірі, белгілі бір үшін, көпмүшесінің түбірі болуы керек. Демек, көпмүшесінің ең көп n түрлі түбірі болуы мүмкін. Егер болмаса, онда бұл қорытынды міндетті түрде орындалмайды. Мысалы, кубтық көпмүшесінің алты түбірі бар (бірақ оның тек үш түбірі ғана бар).