Введение

Произведение двух ненулевых элементов ненулево, а произведение нулевых факторов равно нулю.

В алгебре свойство нулевого произведения утверждает, что произведение двух ненулевых элементов ненулево. Иными словами, если произведение двух элементов равно нулю, то хотя бы один из этих элементов должен быть равен нулю.

Это свойство также известно как правило нулевого произведения, закон нулевого множителя, свойство умножения на ноль, отсутствие нетривиальных делителей нуля или одно из двух свойств нулевого множителя. Все системы чисел, изучаемые в элементарной математике — целые числа, рациональные числа, действительные числа и комплексные числа — удовлетворяют свойству нулевого произведения. В общем случае, кольцо, удовлетворяющее свойству нулевого произведения, называется областью целостности.

Алгебраический контекст

Предположим, что является алгебраической структурой. Мы можем спросить, обладает ли свойством нулевого произведения. Чтобы этот вопрос имел смысл, должен обладать как аддитивной, так и мультипликативной структурой. Обычно предполагается, что это кольцо, хотя это может быть и что-то другое, например, множество неотрицательных целых чисел с обычным сложением и умножением, которое является лишь (коммутативным) полукольцом. Обратите внимание, что если удовлетворяет свойству нулевого произведения, и если является подмножеством , то также удовлетворяет свойству нулевого произведения: если и являются элементами , такими что , то либо или , поскольку и также могут рассматриваться как элементы .

Примеры

Кольцо, в котором выполняется свойство нулевого произведения, называется областью целостности. Коммутативная область целостности с единичным элементом называется интегральной областью. Любое поле является интегральной областью; более того, любая подобласть поля является интегральной областью (при условии, что она содержит 1). Аналогично, любая подобласть скосого поля является областью целостности. Таким образом, свойство нулевого произведения выполняется для любой подобласти скосого поля. Если p – простое число, то кольцо целых чисел по модулю p обладает свойством нулевого произведения (фактически, это поле). Гауссовы целые числа являются интегральной областью, поскольку они являются подобластью комплексных чисел. В строго скосовом поле кватернионов выполняется свойство нулевого произведения. Это кольцо не является интегральной областью, поскольку умножение в нем некоммутативно. Множество неотрицательных целых чисел не является кольцом (являясь полукольцом), но оно удовлетворяет свойству нулевого произведения.

Непримеры

Пусть обозначает кольцо целых чисел по модулю . Тогда не удовлетворяет свойству нулевого произведения: 2 и 3 — ненулевые элементы, но . В общем случае, если — составное число, то не удовлетворяет свойству нулевого произведения. А именно, если , где , то и — ненулевые по модулю , но . Кольцо матриц 2 × 2 с целыми элементами не удовлетворяет свойству нулевого произведения: если и , то , однако ни одна из матриц не является нулевой. Кольцо всех функций , отображающих единичный интервал в множество действительных чисел, имеет нетривиальные делители нуля: существуют пары функций, которые не тождественно равны нулю, но их произведение является нулевой функцией. Фактически, для любого n ≥ 2 несложно построить функции , ни одна из которых не тождественно равна нулю, такие что тождественно равна нулю при всех . То же самое верно, даже если рассматривать только непрерывные функции или даже бесконечно дифференцируемые функции. С другой стороны, аналитические функции обладают свойством нулевого произведения.

Применение для нахождения корней многочленов

Предположим, что и — унивариантные многочлены с действительными коэффициентами, а — действительное число, такое что (на самом деле, мы можем допустить, чтобы коэффициенты и принадлежали любому целостному домену.) По свойству нулевого произведения следует, что либо или. Иными словами, корни многочлена — это ровно корни многочлена вместе с корнями . Таким образом, можно использовать разложение на множители для нахождения корней многочлена. Например, многочлен разлагается на множители как ; следовательно, его корни — это ровно 3, 1 и −2. В общем случае, пусть — целостный домен и — моничный унивариантный многочлен степени с коэффициентами в . Предположим также, что имеет различных корня . Из этого следует (но мы не доказываем это здесь), что разлагается на множители как . По свойству нулевого произведения следует, что — это единственные корни : любой корень должен быть корнем для некоторого . В частности, имеет не более различных корней. Однако, если не является целостным доменом, то это заключение может не выполняться. Например, кубический многочлен имеет шесть корней в (хотя он имеет только три корня в ).