Математикалық амалдар және олардың түрлері

Кіріспе

Қосу, көбейту, бөлу,

Математикада операция – нөл немесе одан көп кіріс мәндерін (сонымен қатар «операндар» немесе «аргументтер» деп аталады) нақты анықталған шығыс мәніне бейімдейтін функция. Операцияның қатысушыларының саны операцияның аритметикалық көрсеткішін білдіреді. Ең көп зерттелген операциялар – екілік операциялар (яғни, 2 қатысушысы бар операциялар), мысалы, қосу және көбейту, және бірлік операциялар (яғни, 1 қатысушысы бар операциялар), мысалы, кері қосу және кері көбейту. Аритметикалық көрсеткіші нөлге тең операция немесе нульдік операция тұрақты болып табылады. Аралас көбейтінді – 3-ші аритметикалық көрсеткіші бар операцияның мысалы, ол үштік операция деп те аталады. Жалпы, аритметикалық көрсеткіш шекті деп есептеледі. Алайда, кейде шексіз операциялар да қарастырылады. Екінші жағынан, екілік операциялар екі мән қабылдайды және қосу, алу, көбейту, бөлу және дәрежелеуді қамтиды. Операциялар сандардан басқа математикалық объектілерді де қамти алады. Логикалық мәндер «ақиқат» және «жалған» логикалық операциялар арқылы біріктірілуі мүмкін, мысалы, «және», «немесе» және «жоқ». Векторларды қосу және алу мүмкін. Айналымдарды функциялық композиция операциясын қолдана отырып, бірінші айналымды, содан кейін екінші айналымды орындау арқылы біріктіруге болады. Жинақтардағы операциялар екілік операцияларды – біріктіру және қиылысуды, сондай-ақ толықтырудың бірлік операциясын қамтиды. Функцияларға операциялар құрамына композиция және конволюция кіреді. Операциялар оның доменінің барлық мүмкін мәндері үшін анықталмауы мүмкін. Мысалы, нақты сандарда нөлге бөлуге болмайды немесе теріс сандардың квадрат түбірін табуға болмайды. Операция анықталатын мәндер оның анықталу облысы немесе белсенді облысы деп аталатын жиынды құрайды. Шығарылған мәндерді қамтитын жиын кодомена деп аталады, бірақ операция арқылы алынған нақты мәндер жиынтығы оның анықталу кодоменасы, белсенді кодоменасы, кескіні немесе диапазоны болып табылады. Мысалы, нақты сандардағы квадраттау операциясы тек теріс емес сандарды ғана шығарады; кодомена – нақты сандар жиыны, бірақ диапазоны – теріс емес сандар. Операциялар әр түрлі объектілерді қамти алады: векторды скалярмен көбейтіп, басқа векторды (скалярлық көбейту деп аталатын операция) жасауға болады, ал екі вектордың ішкі көбейтіндісі скалярлық шаманы береді. Операция белгілі бір қасиеттерге ие болуы мүмкін немесе болмауы мүмкін, мысалы, ол ассоциативті, коммутативті, антикоммутативті, идемпотентті және т.б. болуы мүмкін. Біріктірілген мәндер операндар, аргументтер немесе кірістер деп аталады, ал шығарылған мән – мән, нәтиже немесе шығыс деп аталады. Операциялар екі кірістен аз немесе көп болуы мүмкін (соның ішінде нөлдік кіріс және шексіз көп кіріс, бірақ бұл нүктелік көбейтіндідегідей, векторларды көбейтіп, скалярды шығаратын жағдайда, әмбебап емес). n-аритметриялық операция ω: Xn → X n-аритметриялық операция деп аталады: ω: Xi × S × Xn − i − 1 → X , мұнда 0 ≤ i < n – скалярлық жиын немесе операторлық жиын S арқылы сыртқы операция деп аталады. Әсіресе, екілік операция үшін ω: S × X → X – S-тің сол жақ сыртқы операциясы деп аталады, ал ω: X × S → X – S-тің оң жақ сыртқы операциясы деп аталады. Ішкі операцияның мысалы – векторлық қосу, онда екі вектор қосылады және векторға әкеледі. Сыртқы операцияның мысалы – скалярлық көбейту, онда вектор скалярмен көбейтіледі және векторға әкеледі. n-аритметриялық көпфункциялық немесе ω – бұл жиынның карталық дәрежесінен сол жиынның кіші жиынтығына бейімдеу, формальды түрде .

In mathematics, an operation is a function which takes zero or more input values (also called "operands" or "arguments") to a well defined output value. The number of operands is the arity of the operation. The most commonly studied operations are binary operations (i. e., operations of arity 2), such as addition and multiplication, and unary operations (i. e., operations of arity 1), such as additive inverse and multiplicative inverse. An operation of arity zero, or nullary operation, is a constant. The mixed product is an example of an operation of arity 3, also called ternary operation. Generally, the arity is taken to be finite. However, infinitary operations are sometimes considered, Binary operations, on the other hand, take two values, and include addition, subtraction, multiplication, division, and exponentiation. Operations can involve mathematical objects other than numbers. The logical values true and false can be combined using logic operations, such as and, or, and not. Vectors can be added and subtracted. Rotations can be combined using the function composition operation, performing the first rotation and then the second. Operations on sets include the binary operations union and intersection and the unary operation of complementation. Operations on functions include composition and convolution. Operations may not be defined for every possible value of its domain. For example, in the real numbers one cannot divide by zero or take square roots of negative numbers. The values for which an operation is defined form a set called its domain of definition or active domain. The set which contains the values produced is called the codomain, but the set of actual values attained by the operation is its codomain of definition, active codomain, image or range. For example, in the real numbers, the squaring operation only produces non negative numbers; the codomain is the set of real numbers, but the range is the non negative numbers. Operations can involve dissimilar objects: a vector can be multiplied by a scalar to form another vector (an operation known as scalar multiplication), and the inner product operation on two vectors produces a quantity that is scalar. An operation may or may not have certain properties, for example it may be associative, commutative, anticommutative, idempotent, and so on. The values combined are called operands, arguments, or inputs, and the value produced is called the value, result, or output. Operations can have fewer or more than two inputs (including the case of zero input and infinitely many inputs although this is by no means universal, as in the case of dot product, where vectors are multiplied and result in a scalar. An n ary operation ω: Xn → X is called an An n ary operation ω: Xi × S × Xn − i − 1 → X where 0 ≤ i < n is called an external operation by the scalar set or operator set S. In particular for a binary operation, ω: S × X → X is called a left external operation by S, and ω: X × S → X is called a right external operation by S. An example of an internal operation is vector addition, where two vectors are added and result in a vector. An example of an external operation is scalar multiplication, where a vector is multiplied by a scalar and result in a vector. An n ary multifunction or ω is a mapping from a Cartesian power of a set into the set of subsets of that set, formally .